求导运算和次幂运算“强相关”的函数一般就是倒数函数

一、题目

若函数 $f (x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{'} (x)$ $=$ $f^{2} (x)$ , 则当 $n$ 为大于等于 $2$ 的正整数时， $f (x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)} (x)$ $=$ $?$

»A« $n! f^{2 n} (x)$

»B« $n! f^{n + 1} (x)$

»C« $n f^{2 n} (x)$

»D« $n f^{n + 1} (x)$

二、解析

由于 $f^{'} (x)$ 和 $f^{2} (x)$ 相等，因此，本题是一道求导运算和次幂运算“强相关”的题目，这类题目涉及的函数一般都是基本初等函数中的倒数函数，例如这里的函数 $y_{3}$ 和函数 $y_{4}$ 都具有此类性质。

具体到本题，事实上，若我们令 $f (x)$ $=$ $\frac{- 1}{x}$ , 则就可以满足题目所给条件 $f^{'} (x)$ $=$ $f^{2} (x)$ , 当然也满足本题的结论 $f^{(n)} (x)$ $=$ $n! f^{n + 1} (x)$ .

由题可知 $f^{'} (x)$ $=$ $f^{2} (x)$ , 于是：

$\begin{aligned} f^{''} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'} = {[f^{2} (x)]}^{'} = 2 f (x) f^{'} (x) = 2 f^{3} (x) \\ f^{'''} (x) = {[f^{''} (x)]}^{'} = {[2 f^{3} (x)]}^{'} = 3 \times 2 \times f^{2} (x) \cdot f^{'} (x) = 3! f^{4} (x) \\ f^{(4)} (x) = 4! f^{4 + 1} (x) \\ ⋮ \\ f^{(n)} (x) = n! f^{n + 1} (x) \end{aligned}$

综上可知，»B« 选项正确.

求导运算和次幂运算“强相关”的函数一般就是倒数函数

一、题目

二、解析

高等数学

线性代数

特别专题

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