封闭曲线的弧长不一定是周长

一、题目

有时候，曲线 $r(\theta)$ 的极坐标方程也写作：$r(\theta)$ $=$ $\sin ^{3} \frac{\theta}{3}$.

难度评级：

二、解析

§2.1 计算

设曲线 $r$ 的弧长为 $s$, 则根据曲线的弧长公式可知：

为了使计算过程更加简洁清晰，我们在下式中使用 “$r$” 表示 “$r (\theta)$”.

$$
\begin{aligned}
s = & \int_{0}^{3 \pi} \sqrt{\textcolor{orange}{ r ^{2} } + \textcolor{magenta}{ (r ^{\prime} ) ^{2} }} \mathrm{~d} \theta \\ \\
= & \int_{0}^{3 \pi} \sqrt{\textcolor{orange}{\sin ^{6} \frac{\theta}{3}} + \textcolor{magenta}{ \left[ 3 \left( \sin ^{2} \frac{\theta}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \cos \frac{\theta}{3} \right) \right]^{2} }} \mathrm{~d} \theta \\ \\
= & \int_{0}^{3 \pi} \sqrt{\sin^{6} \frac{\theta}{3} + \left[ \sin ^{2} \frac{\theta}{3} \cdot \cos \frac{\theta}{3} \right]^{2} } \mathrm{~d} \theta \\ \\
= & \int_{0}^{3 \pi} \sqrt{\textcolor{orange}{ \sin^{6} \frac{\theta}{3} } + \textcolor{magenta}{ \sin ^{4} \frac{\theta}{3} \cdot \cos ^{2} \frac{\theta}{3} } } \mathrm{~d} \theta \\ \\
= & \int_{0}^{3 \pi} \sqrt{ \sin ^{4} \frac{\theta}{3} \left( \sin ^{2} \frac{\theta}{3} + \cos ^{2} \frac{\theta}{3} \right) } \mathrm{~d} \theta \\ \\
= & \textcolor{springgreen}{ \int_{0}^{3 \pi} \sqrt{ \sin ^{4} \frac{\theta}{3}} \mathrm{~d} \theta } \\ \\
\end{aligned}
$$

由于平方的作用，无论 $\theta$ 取值如何，$\sin ^{4} \frac{\theta}{3}$ 一定不会小于零，所以：

$$
\begin{aligned}
s = & \int_{0}^{3 \pi} \sqrt{ \sin ^{4} \frac{\theta}{3}} \mathrm{~d} \theta \\ \\
= & \textcolor{springgreen}{ \int_{0}^{3 \pi} \sin ^{2} \frac{\theta}{3} \mathrm{~d} \theta }
\end{aligned}
$$

接着，若令 $2 \textcolor{magenta}{\Theta}$ $=$ $\frac{\textcolor{yellow}{\theta}}{3}$, 则：

$$
\begin{cases}
\textcolor{yellow}{\theta} \in (0, 3 \pi) \Rightarrow \textcolor{magenta}{\Theta} \in (0, \frac{\pi}{2}) \\
\mathrm{d} \textcolor{yellow}{\theta} = \mathrm{d} (6 \textcolor{magenta}{\Theta}) = 6 \mathrm{~d} \textcolor{magenta}{\Theta}
\end{cases}
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
s = & \int_{0}^{3 \pi} \sin ^{2} \frac{\theta}{3} \mathrm{~d} \theta \\ \\
= & \textcolor{springgreen}{ 6 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} \Theta \mathrm{~d} \Theta }
\end{aligned}
$$

于是，由次幂为偶数的华里士点火公式，可得：

$$
\begin{aligned}
s = & 6 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} \Theta \mathrm{~d} \Theta \\ \\
= & 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \\ \\
= & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \frac{3 \pi}{2} }}
\end{aligned}
$$

§2.2 拓展

我们在本题中求解的曲线 $r$ 的弧长，就是图 01 中的橙红色“心形线”，这一条优雅的封闭曲线：

需要注意的是，我们所求解的曲线 $r$ 的弧长，并不是曲线 $r$ 的周长，不然的话，我们求解的就只是图 02 中橙红色部分曲线的长度，而不包括图中绿色部分曲线的长度：

此外，为什么题目要告诉我们，$\theta$ 的取值范围是 $0$ 到 $3 \pi$ 呢？$2 \pi$ 不是已经有 $360 ^{\circ}$, 难道还不足以形成一条封闭曲线吗？

这是因为，如果要限制 $\theta$ $\in$ $(0, 2 \pi)$, 则就会产生如图 03 所示的没有封闭的心形线：

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