封闭曲线的弧长不一定是周长

一、题目

有时候，曲线 $r(\theta )$ 的极坐标方程也写作：$r(\theta )$ $=$ ${\sin }^3\frac{\theta }{3}$.

难度评级：

二、解析

§2.1 计算

设曲线 $r$ 的弧长为 $s$, 则根据曲线的弧长公式可知：

为了使计算过程更加简洁清晰，我们在下式中使用 “$r$” 表示 “$r(\theta )$”.

$$\begin{array}{rl}s=& {\int }_0^{3\pi }\sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}\mathrm{d}\theta \\ \\ =& {\int }_0^{3\pi }\sqrt{{\sin }^6\frac{\theta }{3}+{\left[3({\sin }^2\frac{\theta }{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \cos \frac{\theta }{3})\right]}^2}\mathrm{d}\theta \\ \\ =& {\int }_0^{3\pi }\sqrt{{\sin }^6\frac{\theta }{3}+{[{\sin }^2\frac{\theta }{3}\cdot \cos \frac{\theta }{3}]}^2}\mathrm{d}\theta \\ \\ =& {\int }_0^{3\pi }\sqrt{{\sin }^6\frac{\theta }{3}+{\sin }^4\frac{\theta }{3}\cdot {\cos }^2\frac{\theta }{3}}\mathrm{d}\theta \\ \\ =& {\int }_0^{3\pi }\sqrt{{\sin }^4\frac{\theta }{3}({\sin }^2\frac{\theta }{3}+{\cos }^2\frac{\theta }{3})}\mathrm{d}\theta \\ \\ =& {\int }_0^{3\pi }\sqrt{{\sin }^4\frac{\theta }{3}}\mathrm{d}\theta \\ \end{array}$$

由于平方的作用，无论 $\theta$ 取值如何，${\sin }^4\frac{\theta }{3}$ 一定不会小于零，所以：

$$\begin{array}{rl}s=& {\int }_0^{3\pi }\sqrt{{\sin }^4\frac{\theta }{3}}\mathrm{d}\theta \\ \\ =& {\int }_0^{3\pi }{\sin }^2\frac{\theta }{3}\mathrm{d}\theta \end{array}$$

接着，若令 $2\mathrm{\Theta }$ $=$ $\frac{\theta }{3}$, 则：

$$\{\begin{array}{l}\theta \in (0,3\pi )\Rightarrow \mathrm{\Theta }\in (0,\frac{\pi }{2})\\ \mathrm{d}\theta =\mathrm{d}(6\mathrm{\Theta })=6\mathrm{d}\mathrm{\Theta }\end{array}$$

所以：

$$\begin{array}{rl}s=& {\int }_0^{3\pi }{\sin }^2\frac{\theta }{3}\mathrm{d}\theta \\ \\ =& 6{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2\mathrm{\Theta }\mathrm{d}\mathrm{\Theta }\end{array}$$

于是，由次幂为偶数的华里士点火公式，可得：

$$\begin{array}{rl}s=& 6{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2\mathrm{\Theta }\mathrm{d}\mathrm{\Theta }\\ \\ =& 6\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\\ \\ =& \frac{\mathbf{3}\mathit{\pi }}{\mathbf{2}}\end{array}$$

§2.2 拓展

我们在本题中求解的曲线 $r$ 的弧长，就是图 01 中的橙红色“心形线”，这一条优雅的封闭曲线：

需要注意的是，我们所求解的曲线 $r$ 的弧长，并不是曲线 $r$ 的周长，不然的话，我们求解的就只是图 02 中橙红色部分曲线的长度，而不包括图中绿色部分曲线的长度：

此外，为什么题目要告诉我们，$\theta$ 的取值范围是 $0$ 到 $3\pi$ 呢？$2\pi$ 不是已经有 ${360}^{\circ }$, 难道还不足以形成一条封闭曲线吗？

这是因为，如果要限制 $\theta$ $\in$ $(0,2\pi )$, 则就会产生如图 03 所示的没有封闭的心形线：

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