趋于“无穷大”就要考虑趋于“负无穷大”和趋于“正无穷大”两种情况

一、题目

难度评级：

二、解析

Note

题目说 $x\to \mathrm{\infty }$, 其实就是说即存在 $x\to +\mathrm{\infty }$ 的情况，也存在 $x\to -\mathrm{\infty }$ 的情况，因此，我们要分别讨论。

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当 $x\to –\mathrm{\infty }$ 时

$$\begin{array}{r}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[3]{2x^3+3}}{\sqrt{3x^2-2}}\\ \\ & =\frac{\sqrt[3]{x^3(2+3x^{-3})}}{\sqrt{x^2(3-2x^{-2})}}\\ \\ & =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x\sqrt[3]{2+3x^{-3}}}{(-x)\sqrt{3-2x^{-2}}}\\ \\ & =\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[3]{2+3x^{–3}}}{–\sqrt{3–2x^{–2}}}\\ \\ & =\frac{–\sqrt[3]{2+0}}{\sqrt{3+0}}\\ \\ & =\frac{\mathbf{-}\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{2}}}{\sqrt{\mathbf{3}}}\end{array}$$

当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时

$$\begin{array}{r}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[3]{2x^3+3}}{\sqrt{3x^2-2}}\\ \\ & =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[3]{x^3(2+3x^{-3})}}{\sqrt{x^2(3-2x^{-2})}}\\ \\ & =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x\sqrt[3]{2+3x^{-3}}}{x\sqrt{3-2x^{-2}}}\\ \\ & =\frac{\sqrt[3]{2+0}}{\sqrt{3+0}}\\ \\ & =\frac{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{2}}}{\sqrt{\mathbf{3}}}\end{array}$$

由于：

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}I\ne \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}I$$

所以，式子 $I$ 的极限在 $x\to \mathrm{\infty }$ 的时候不存在

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