一、题目
下面式子的极限存在吗？如果极限存在，则极限等于多少？
$$
I = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { x } { \sqrt { 1 – \cos ( a x ) } }
$$
其中，$0$ $<$ $| a |$ $<$ $\pi$
难度评级：
二、解析 
在本题中，虽然只说了 $x \rightarrow 0$, 但由于式子 $I$ 中在多处含有 “$x$” 或者 “$ax$”, 所以，我们必须分别考虑 $\textcolor{blue}{x \rightarrow 0^{+}}$ 和 $\textcolor{red}{x \rightarrow 0^{-}}$ 这两种情况，因为这可能会导致一个为正，一个负的情况；
类似的，如果 $x \rightarrow 1$ 或者是趋于任意一个非零常数，且极限式子中只含有 “$x$” 或者 “$ax$”, 那么，就没必要考虑 $\textcolor{blue}{x \rightarrow 1^{+} }$ 或者 $\textcolor{red}{x \rightarrow 1^{-} }$ 这两种情况；但是，如果 $x \rightarrow 1$, 但是，极限式子中存在 “$(x – 1)$” 或者 “$(1 – x)$”, 那么，就需要考虑 $\textcolor{blue}{x \rightarrow 1^{+} }$ 和 $\textcolor{red}{x \rightarrow 1^{-} }$ 这两种情况了。
准备工作
根据三角函数 $\sin$ 的二倍角公式，有：
$$
1 – \cos ( a x ) = \textcolor{yellow}{ 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac{a x}{2} \right) }
$$
当 $a$ $>$ $0$ 时
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{orangered}{x \rightarrow 0^{-}}} \frac { x } { \sqrt { 1 – \cos ( a x ) } } \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{orangered}{x \rightarrow 0^{-}} } \frac { x } { \sqrt { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac{a x}{2} \right) } } \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{orangered}{x \rightarrow 0^{-}} } \frac { – x } { \sqrt { 2 } \sin \left( \frac{a x}{2} \right) } \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{orangered}{x \rightarrow 0^{-}} } \frac { – x } { \sqrt { 2 } \frac{a x}{2} } \\ \\
& = \frac{-2}{\sqrt{2} a} \\ \\
& = \textcolor{green}{\boldsymbol{\frac { -\sqrt { 2 } } { a }}}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{springgreen}{x \rightarrow 0^{+}}} \frac { x } { \sqrt { 1 – \cos ( a x ) } } \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{springgreen}{x \rightarrow 0^{+}} } \frac { x } { \sqrt { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac{a x}{2} \right) } } \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{springgreen}{x \rightarrow 0^{+}} } \frac { + x } { \sqrt { 2 } \sin \left( \frac{a x}{2} \right) } \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{springgreen}{x \rightarrow 0^{+}} } \frac { + x } { \sqrt { 2 } \frac{a x}{2} } \\ \\
& = \frac{+2}{\sqrt{2} a} \\ \\
& = \textcolor{green}{\boldsymbol{\frac { \sqrt { 2 } } { a }}}
\end{aligned}
$$
当 $a$ $<$ $0$ 时
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{orangered}{x \rightarrow 0^{-}} } \frac { x } { \sqrt { 1 – \cos ( a x ) } } \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{orangered}{x \rightarrow 0^{-}} } \frac { x } { \sqrt { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac{a x}{2} \right) } } \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{orangered}{x \rightarrow 0^{-}} } \frac { x } { \sqrt { 2 } \sin \left( \frac{a x}{2} \right) } \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{orangered}{x \rightarrow 0^{-}} } \frac { x } { \sqrt { 2 } \frac{a x}{2} } \\ \\
& = \frac{2}{\sqrt{2} a} \\ \\
& = \textcolor{green}{\boldsymbol{\frac { \sqrt { 2 } } { a } }}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{springgreen}{x \rightarrow 0^{+}} } \frac { x } { \sqrt { 1 – \cos ( a x ) } } \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{springgreen}{x \rightarrow 0^{+}} } \frac { x } { \sqrt { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac{a x}{2} \right) } } \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{springgreen}{x \rightarrow 0^{+}} } \frac { -x } { \sqrt { 2 } \sin \left( \frac{a x}{2} \right) } \\ \\
& = \lim _{ \textcolor{springgreen}{x \rightarrow 0^{+}} } \frac { -x } { \sqrt { 2 } \frac{a x}{2} } \\ \\
& = \frac{-2}{\sqrt{2} a} \\ \\
& = \textcolor{green}{\boldsymbol{\frac { -\sqrt { 2 } } { a } }}
\end{aligned}
$$
综上可知，无论 $a$ $>$ $0$ 的时候，还是 $a$ $<$ $0$ 的时候，式子 $I$ 的左右极限都不相等，因此，在题目给定条件下，式子 $I$ 的极限不存在 
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