矩阵乘法中的矩阵不满足消去律和交换律，但矩阵对应的行列式满足消去律和交换律

一、题目

(A) $\boldsymbol { A }$ $=$ $\boldsymbol { O }$ 或 $\boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { O }$

(B) $| \boldsymbol { A } |$ $=$ $0$ 或 $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $0$

(C) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { B } \boldsymbol { A }$

(D) $| \boldsymbol { A } |$ $+$ $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $0$

难度评级：

二、解析

矩阵乘法不满足消去律

由 $\boldsymbol { A B }$ $=$ $\boldsymbol { O }$, 可得：

$$
| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } | = | \boldsymbol { A } | | \boldsymbol { B } | = 0
$$

因此可知，$| \boldsymbol { A } |$ $=$ $0$ 或 $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $0$, 也就是说，可能存在下面三种情况：

1. $| \boldsymbol { A } |$ $=$ $0$ 且 $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $0$
2. $| \boldsymbol { A } |$ $=$ $0$ 且 $| \boldsymbol { B } |$ $\neq$ $0$
3. $| \boldsymbol { A } |$ $\neq$ $0$ 且 $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $0$

所以 B 选 项 正 确 ，D 选 项 不 一 定 正 确（在选择题中，D 选项就是一定不正确）。

通过上面的计算，我们可以知道，矩阵对应的行列式是满足乘法消去律的，因为行列式可以被看作一个数字，行列式的性质和数字也就是类似的。

但是，矩阵乘法不满足消去律，也就是说：

$$
\textcolor{orangered}{\boldsymbol { A B } = \boldsymbol { O } \nRightarrow \boldsymbol { A } = \boldsymbol { O }
}
$$

$$
\textcolor{orangered}{\boldsymbol { A B } = \boldsymbol { O } \nRightarrow \boldsymbol { B } = \boldsymbol { O }
}
$$

因此，A 选 项 不 正 确 。

矩阵乘法不满足交换律

矩阵乘法不满足交换律，因此，通常：

$$
\textcolor{orangered}{\boldsymbol { A B } \neq \boldsymbol { B A }
}
$$

因此，C 选 项 不 正 确 。

例子

若令 $\boldsymbol { A }$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $\boldsymbol { B }$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ – 1 & – 1 \end{pmatrix}$, 则矩阵 $\boldsymbol { A }$ 和 $\boldsymbol { B }$ 满足：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol {A B} \\ \\
& = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ – 1 & – 1 \end{pmatrix} \\ \\
& = \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \\ \\
& = \boldsymbol{O}
\end{aligned}
$$

但是，很明显：

$$
\boldsymbol { A } \neq \boldsymbol { O }
$$

$$
\boldsymbol { B } \neq \boldsymbol { O }
$$

因此，矩阵乘法 不 满 足 消去律。

又因为：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol { B } \boldsymbol { A } \\ \\
& = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ – 1 & – 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ \\
& = \begin{pmatrix}
2 & 2 \\
-2 & -2
\end{pmatrix} \\ \\
& \neq \boldsymbol { O } \\ \\
& \neq \boldsymbol{ AB }
\end{aligned}
$$

因此，矩阵乘法 不 满 足 交换律。

综上可知，本 题 应 选 B

下一页还有一道题目，进一步展示了虽然矩阵本身一般不满足交换律，但是矩阵对应的行列式满足交换律：