在实际的考试中，我们没必要把矩阵化简得这么“彻底”再去求未知数

一、题目

A. $a = 2$, $b = 8$, $c = 1 0$

B. $a = 2$, $b = 8$, $c = -1 0$

C. $a = 1$, $b = – 8$, $c = 1 0$

D. $a = 1$, $b = – 8$, $c = – 1 0$

难度评级：

二、解析

由题目已知条件，我们可以令：

$$
\boldsymbol { A } = \left( \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } , \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } , \boldsymbol { \alpha } _ { 3 } \right) = \begin{bmatrix}
1 & 1 & – 2 \\ 1 & – 2 & 1 \\ a & b & c
\end{bmatrix}
$$

同时，根据对题目的等价转化往往就是解题的突破口的思想，我们知道：

*“$\boldsymbol { \beta }$ 可由 $\boldsymbol { \alpha } _ { 1 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 2 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 3 }$ 线性表示”，就是说方程组 $\boldsymbol { A } x = \boldsymbol { \beta }$ 有解，即 $r ( \boldsymbol { A } )$ $=$ $r ( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { \beta } )$
**“且表示方法不唯一”，就是说方程组 $\boldsymbol { A } x = \boldsymbol { \beta }$ 有无穷多解。

因此：

$$
r ( \boldsymbol { A } ) = r ( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { \beta } ) < 3
$$

又因为，在矩阵 $\boldsymbol { A }$ $=$ $\begin{bmatrix}
\textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{1} & – 2 \\ \textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{- 2} & 1 \\ a & b & c
\end{bmatrix}$ 中，我们可以找到二阶子式：

$$
\left| \begin{array} { c c } 1 & 1 \\ 1 & – 2 \end{array} \right| \neq 0
$$

因此：

$$
r ( \boldsymbol { A } ) \geqslant 2
$$

即：

$$
3 > r ( \boldsymbol { A } ) \geqslant 2
$$

于是：

$$
r ( \boldsymbol { A } ) = \textcolor{springgreen}{a = 2}
$$

接下来开始求解 $b$ 的取值。

对矩阵 $( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { \beta } )$ 作初等行变换：

$$
\begin{aligned}
( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { \beta } ) \\ \\
& = \begin{bmatrix}
1 & 1 & – 2 & \textcolor{yellow}{\vdots} & 1 \\ 1 & – 2 & 1 & \textcolor{yellow}{\vdots} & 2 \\ 2 & b & c & \textcolor{yellow}{\vdots} & 0
\end{bmatrix} \\ \\
& \rightarrow \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{0} & – 1 & \textcolor{yellow}{\vdots} & \frac { 4 } { 3 } \\ \\ \textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orangered}{1} & – 1 & \textcolor{yellow}{\vdots} & \frac { -1 } { 3 } \\ \\ 0 & 0 & b + c + 2 & \textcolor{yellow}{\vdots} & \frac { 1 } { 3 } b – \frac { 8 } { 3 }
\end{bmatrix} \\ \\
& \rightarrow
\end{aligned}
$$

由于 $r ( \boldsymbol { A } )$ $=$ $r ( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { \beta } )$ $=$ $2$, 且 $\begin{vmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{0} \\ \textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orangered}{1}
\end{vmatrix}$ $\neq$ $0$, 因此：

$$
\begin{cases}
b + c + 2 = 0 , \\
\frac { 1 } { 3 } b – \frac { 8 } { 3 } = 0
\end{cases}
$$

于是，得：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{cases}
b = 8 \\
c = – 1 0
\end{cases}
}
$$

实战经验

当然，在实际的考试中，我们没必要像上面一样，把矩阵 $( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { \beta } )$ 化简得那么“彻底”之后再去求其中的未知数。

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例如，我们只需要化简成下面这样：

$$
\begin{aligned}
& ( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { \beta } ) = \begin{bmatrix}
1 & 1 & – 2 & \textcolor{yellow}{\vdots} & 1 \\
1 & – 2 & 1 & \textcolor{yellow}{\vdots} & 2 \\
2 & b & c & \textcolor{yellow}{\vdots} & 0
\end{bmatrix} \\ \\
& \underrightarrow{\text{ 第2行减第1行 } \ } \begin{bmatrix}
1 & 1 & – 2 & \textcolor{yellow}{\vdots} & 1 \\
0 & – 3 & 3 & \textcolor{yellow}{\vdots} & 1 \\
2 & b & c & \textcolor{yellow}{\vdots} & 0
\end{bmatrix} \\ \\
& \underrightarrow{\text{ 第3行减第1行的二倍 } \ } \begin{bmatrix}
1 & 1 & – 2 & \textcolor{yellow}{\vdots} & 1 \\
0 & – 3 & 3 & \textcolor{yellow}{\vdots} & 1 \\
0 & b-2 & c+4 & \textcolor{yellow}{\vdots} & -2
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

由于 $r ( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { \beta } )$ $=$ $2$, 且矩阵 $( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { \beta } )$ 的前两行中刚好存在一个不等于零的二阶子式 $\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
0 & -3
\end{vmatrix}$, 因此，矩阵 $( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { \beta } )$ 的第 $2$ 行与第 $3$ 行一定成比例，使得第 $3$ 行可以被消为元素全为 $0$ 的行, 即：

$$
\begin{cases}
\frac{b-2}{-3} = \frac{-2}{1} \\ \\
\frac{c+4}{3} = \frac{-2}{1}
\end{cases} \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
b-2 = 6 \\
c+4 = -6
\end{cases} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{cases}
b = 8 \\
c = -10
\end{cases}
}
$$

综上可知，本 题 应 选 B

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