等价无穷大替换公式

一、前言

等价无穷小的替换公式几乎所有考研数学资料都会提到，但是却鲜有提及“等价无穷大替换公式”。在本文中，荒原之梦考研数学将对此做一个阐释。

二、正文

其实，等价无穷大也有替换方式，替换的方法主要有以下两种：

1. 通过提取公因式等方法，将等价无穷大转换为等价无穷小，之后再按照等价无穷小的替换公式计算。有关等价无穷小的替换公式，可以参考荒原之梦考研数学的这篇文章：《等价无穷小公式汇总》
2. 利用等价无穷大替换公式计算。常见的等价无穷大如下 ($x$ $\rightarrow$ $+ \infty$)：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
x + a & \sim x \\
x ^ { 2 } + a x + b & \sim x ^ { 2 } \\
e ^ { x } + x ^ { 2 } & \sim e ^ { x } \\
x ! + e ^ { x } & \sim x !
2 x & \sim \sqrt { x ^ { 2 } + x } + \sqrt { x ^ { 2 } – x }
\end{aligned}
}
$$

Note

等价无穷小替换公式是利用泰勒公式得到的，而等价无穷大公式则是通过对无穷大“抓大头，去小头”的方式得到的。这两种公式的“出处”是不相同的。

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