做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势

一、题目

Note

关于思维定势的分析，可以查阅荒原之梦考研数学的原创文章：《思维定势：让我们既爱又恨》

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难度评级：

二、解析

首先，本题给出了一些导数的值，并且有经常会用到求导运算的变限积分，且要求导的式子是一个分式，因此，本题很可能需要使用洛必达法则，通过不断的求导运算来求解。

但是，根据荒原之梦考研数学在《有关变限积分求导的几种形式》这篇文章中所作的总结，直接对题目中这种形式的变限积分求导是不行的，而是首先需要对函数 “$f(x–t)$” 中的自变量 “$x–t$” 做一个整体替换，使得函数自变量和积分变量相同，但和积分上下限不同。

于是，令：

$$k=x–t$$

则有：

$$\{\begin{array}{l}t=x–k\\ \mathrm{d}t=–\mathrm{d}k\\ x\in (0,x)\Rightarrow k\in (x,0)\end{array}$$

之后我们就可以对原式 $I$ 进行变形和求导了。

此外，还需要注意的一点时，在“变形”的过程中，要始终记得，积分上下限中的 $x$ 要看作常数，积分变量 $k$ 要看作变量；之后，进行求导的时候，原本的 $x$ 要看作变量，基本变量 $k$ 要看作常数。

Tip

需要注意的是，虽然，当 $t$ $=$ $x$ $-$ $k$ 时，有 $x$ $=$ $t$ $+$ $k$, 但是，我们不要把原式基本上下限 ${\int }_0^x$ 中的 $x$ 用 $t$ $+$ $k$ 替换，因为这就引入了变量，而积分上下限此时要被看作是“常数”。

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Tip

同理，原式分母 $x{\int }_0^{x}f(x–t)\mathrm{d}t$ 中的 $x$ 也要看成常数，不能用 $t$ $+$ $k$ 替换。

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在下面的计算中，需要看成常数的 $x$ 用春绿色表示，不需要看成常数的 $x$ 用橘红色表示：

$$\begin{array}{r}I\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\int }_0^{x}tf(x–t)\mathrm{d}t}{x{\int }_0^{x}f(x–t)\mathrm{d}t}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{-{\int }_x^0(x–k)f(k)\mathrm{d}k}{–x{\int }_x^{0}f(k)\mathrm{d}k}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\int }_0^x[xf(k)–kf(k)]\mathrm{d}k}{x{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k–{\int }_0^{x}kf(k)\mathrm{d}k}{x{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k}\end{array}$$

接着，由于当 $x\to 0$ 的时候，上面的式子符合 $\frac{0}{0}$ 不定式的形式，因此，我们开始尝试对上面的式子使用洛必达运算，对其分子和分母分别进行多次的求导——

此时，式子中 $x$ 就需要被看作变量（求导变量）处理了：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & \frac{0}{0}\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k+xf(x)–xf(x)}{{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k+xf(x)}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k}{{\int }_0^{x}f(k)\mathrm{d}k+xf(x)}\\ \\ & \frac{0}{0}\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{f(x)+f(x)+x{f}^{\prime }(x)}\\ \\ & \frac{0}{0}\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)+x{f}^{\prime \prime }(x)}\\ \\ & \frac{0}{0}\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x)}{f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)+x{\mathit{f}}^{\mathit{\prime }\mathit{\prime }\mathit{\prime }}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x)}{f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime \prime }(x)}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime \prime }(x)}{4f^{\prime \prime }(x)}\\ \\ & =\frac{1}{4}\end{array}$$

Important

虽然题目中没说函数 $f(x)$ 三阶可导，也就是说，我们不知道 ${\mathit{f}}^{\mathit{\prime }\mathit{\prime }\mathit{\prime }}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}$ 是否存在，但由于当 $x\to 0$ 的时候，一定有 $x{\mathit{f}}^{\mathit{\prime }\mathit{\prime }\mathit{\prime }}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}$ $=$ $0$, 所以，即便上面的计算步骤中出现了三阶导函数 ${\mathit{f}}^{\mathit{\prime }\mathit{\prime }\mathit{\prime }}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}$, 整个运算也是符合逻辑的。

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