如果用夹逼定理没思路，可以先展开求和符号

一、题目

难度评级：

二、解析

题目让我们求解的其实就是当 $n \rightarrow \infty$ 时，式子 $\sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + i } }$ 的值。

但是，这个式子有两个变量，很显然，我们很难通过直接找规律的方式求解这个式子。那么，最好的办法就是通过夹逼放缩的方式，控制其中一个变量，实现求解。

不过，如果不是很熟练的话，我们可能不容易直接看出来该怎么做夹逼运算，因此，我们可以先将式子的求和符号 “$\sum$” 做一个展开，看看这个式子本身有什么特点：

$$
\begin{aligned}
\sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + i } } \\ \\
& = \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + \textcolor{yellow}{1} } } + \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + \textcolor{yellow}{2} } } + \cdots + \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + \textcolor{yellow}{n} } } \quad (1)
\end{aligned}
$$

所以，上面的式子 $(1)$ 一定大于或等于：

$$
\begin{aligned}
\frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + \textcolor{orangered}{n} } } + \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + \textcolor{orangered}{n} } } + \cdots + \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + \textcolor{orangered}{n} } } \\ \\
& = \textcolor{orangered}{\frac { n } { \sqrt { n ^ { 2 } + n } }}
\end{aligned}
$$

且式子 $(1)$ 一定小于或等于：

$$
\begin{aligned}
\frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + \textcolor{springgreen}{1} } } + \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + \textcolor{springgreen}{1} } } + \cdots + \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + \textcolor{springgreen}{1} } } \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\frac { n } { \sqrt { n ^ { 2 } + n } }}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\textcolor{orangered}{\frac { n } { \sqrt { n ^ { 2 } + n } }} \leqslant \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + i } } \leqslant \textcolor{springgreen}{\frac { n } { \sqrt { n ^ { 2 } + 1 } }}
$$

又因为：

$$
\lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n } { \sqrt { n ^ { 2 } + 1 } } = 1
$$

$$
\lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n } { \sqrt { n ^ { 2 } + n } } = 1
$$

所以，根据夹逼定理可知：

$$
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\lim _ { n \rightarrow \infty } u _ { n }}} = \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + i } } = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}
$$

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