如果用夹逼定理没思路，可以先展开求和符号

一、题目

难度评级：

二、解析

题目让我们求解的其实就是当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，式子 $\sum _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+i}}$ 的值。

但是，这个式子有两个变量，很显然，我们很难通过直接找规律的方式求解这个式子。那么，最好的办法就是通过夹逼放缩的方式，控制其中一个变量，实现求解。

不过，如果不是很熟练的话，我们可能不容易直接看出来该怎么做夹逼运算，因此，我们可以先将式子的求和符号 “$\sum$” 做一个展开，看看这个式子本身有什么特点：

$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+i}}\\ \\ & =\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}(1)\end{array}$$

所以，上面的式子 $(1)$ 一定大于或等于：

$$\begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\\ \\ & =\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\end{array}$$

且式子 $(1)$ 一定小于或等于：

$$\begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\\ \\ & =\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\end{array}$$

于是：

$$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}⩽\sum _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+i}}⩽\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$$

又因为：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=1$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=1$$

所以，根据夹逼定理可知：

$$\underset{\mathit{n}\mathbf{\to }\mathbf{\infty }}{\mathbf{lim}}{\mathit{u}}_{\mathit{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+i}}=\mathbf{1}$$

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