伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值之间有什么关系？

一、题目

难度评级：

二、解析

解法一：用特征值的定义求解

首先，令：

$$
B = \alpha \boldsymbol { \beta } ^ { \mathrm { \top } }
$$

则：

$$
B = \left[ \begin{array} { c c } 1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right] [ 1 , – 1 , 2 ] = \left[ \begin{array} { c c c } 1 & – 1 & 2 \\ 3 & – 3 & 6 \\ 2 & – 2 & 4 \end{array} \right]
$$

接着，开始求解矩阵 $B$ 的特征值：

$$
\begin{aligned}
| \lambda E – B | \\ \\
& = \lambda ^ { 3 } – 2 \lambda ^ { 2 } \\ \\
& = \lambda ^ { 2 } ( \lambda – 2 ) \\ \\
& = 0 \\ \\
& \Rightarrow \begin{cases}
\lambda_{1} = 2 \\
\lambda_{2} = 0 \\
\lambda_{3} = 0
\end{cases}
\end{aligned}
$$

又由于 $A$ 与 $B$ 相似，所以，矩阵 $A$ 的特征值也是：

$$
\begin{cases}
\lambda_{a} = 2 \\
\lambda_{b} = 0 \\
\lambda_{c} = 0
\end{cases}
$$

进而可知，矩阵 $2 A + E$ 的特征值为：

$$
\begin{cases}
\lambda_{ * } = 5 \\
\lambda_{ ** } = 1 \\
\lambda_{ *** } = 1
\end{cases}
$$

又因为，行列式：

$$
| 2 A + E | = 5 \times 1 \times 1 = 5
$$

所以，伴随矩阵 $( 2 A + E ) ^ { * }$ 的特征值为：

$$
\begin{cases}
\bar{\lambda_{1}} = 1 \\
\bar{\lambda_{2}} = 5 \\
\bar{\lambda_{3}} = 5
\end{cases}
$$

解法二：用秩为 1 的矩阵的性质

首先，与解法一类似，令：

$$
B = \alpha \beta ^ { \mathrm { \top } }
$$

则：

$$
\begin{aligned}
B \\ \\
& = \left[ \begin{array} { c c } 1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right] [ 1 , – 1 , 2 ] \\ \\
& = \left[ \begin{array} { c c c } 1 & – 1 & 2 \\ 3 & – 3 & 6 \\ 2 & – 2 & 4 \end{array} \right] \\ \\
& = \left[ \begin{array} { c c c } 1 & – 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]
\end{aligned}
$$

于是可知，矩阵 $B$ 的秩为：

$$
r(B) = 1
$$

接着，根据秩为 $1$ 的矩阵的性质可知，矩阵 $B$ 的特征值为：

$$
\begin{cases}
\lambda_{1} = 0 \\
\lambda_{2} = 0 \\
\lambda_{3} = \operatorname { t r } ( B ) = \boldsymbol { \beta } ^ { \mathrm { \top } } \boldsymbol { \alpha } = 1 – 3 + 4 = 2
\end{cases}
$$

即：

$$
\begin{cases}
\lambda_{1} = 0 \\
\lambda_{2} = 0 \\
\lambda_{3} = 2
\end{cases}
$$

之后我们就可以根据矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 相似确定矩阵 $A$ 的特征值，之后就可以依次确定矩阵 $( 2 A + E )$ 与 $( 2 A + E ) ^ { * }$ 的特征值。

Note

这部分的解题过程与解法一相同，大家可以参考解法一完成这部分解答。

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