这道题该提取 x 还是 -x 呢？

一、题目

难度评级：

二、解析

Warning

在本题中，由于 $x$ 是趋于 $\textcolor{orangered}{- \infty}$ 而不是 $\textcolor{springgreen}{+ \infty}$ 的，因此，$x$ 一定是一个 负 数 。所以，在提取公因式的时候，一定要注意 正 负 性 的问题。

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$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow \textcolor{orangered}{- \infty} } \frac { \sqrt { 4 x ^ { 2 } + x + 1 } + x + 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + \sin x } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow – \infty } \frac { \textcolor{orangered}{- x} \sqrt { 4 + x ^ { – 1 } + x ^ { – 2 } } + x + 1 } { \textcolor{orangered}{- x} \sqrt { 1 + x ^ { – 2 } \sin x } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow – \infty } \frac { – x \sqrt { 4 + x ^ { – 1 } + x ^ { – 2 } } – x \left( – 1 – x ^ { – 1 } \right) } { – x \sqrt { 1 + x ^ { – 2 } \sin x } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow – \infty } \frac { – x \sqrt { 4 + 0 + 0} – x \left( – 1 – 0 \right) } { – x \sqrt { 1 + 0 } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow – \infty } \frac { – x (\sqrt { 4 } – 1 ) } { – x \sqrt { 1 } } \\ \\
& = \frac { 2 – 1 } { 1 } \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{1}}
\end{aligned}
$$

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