2008 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析

一、题目

设函数在 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内单调有界，$x_n$ 为数列，下列命题正确的是 ( )

( A ) 若 $x_n$ 收敛，则 $f(x_n)$ 收敛.

( B ) 若 $x_n$ 单调，则 $f(x_n)$ 收敛.

( C ) 若 $f(x_n)$ 收敛，则 $x_n$ 收敛.

( D ) 若 $f(x_n)$ 单调，则 $x_n$ 收敛.

二、解析

解答本题之前，我们需要清楚“极限”，“收敛”和“有界”三者之间的区别与联系。

当我们说“极限”时，我们通常说的是“函数极限”，当我们说“收敛”时，我们通常说的是“数列收敛”。说“数列收敛”就是说该数列存在极限。我们可以认为，“收敛”是用于描述离散数据的，“极限”是用于描述连续数据的。当我们在计算或者证明数列极限的时候，我们其实是将数列看作了“连续数据”来对待。

如果一个数列收敛，那么这个数列必然有界，但是如果一个数列有界却不一定收敛，例如下面这个数列有界，但不收敛：

$\{1,-1,1,-1,1,-1\}$.

对于函数也一样，例如 $y$ $=$ $\sin x$ 是一个有界函数，但不收敛。

只有单调并且有界的数列才一定收敛（也意味着该数列一定有极限），这就是数列极限的“单调有界原理”。

注：当“单调有界原理”用在数列上时可以证明数列有界；当单调有界原理用在函数上时只能证明函数有确界，即有上确界或者下确界。

此外，本题还涉及复合函数，因此还必须清楚复合函数的几个性质：

• 复合函数的单调性

单调性包含单调递增和单调递减。对于复合函数而言，如果外函数和内函数都是单调函数，则在定义域内，它们的复合函数也是单调函数。至于是单调增还是单调减，可以用“同增异减”来判定。

“同增异减”的含义就是，如果外层函数是增函数，则复合函数的增减性与内函数的增减性一致；

如果外层函数为减函数，则复合函数的增减性与内函数的增减性相反。

“同增异减”也可以理解成，如果复合前两个函数都为增函数或者都为减函数，则复合函数为增函数；如果复合前两个函数一个为增函数，一个为减函数，则复合函数为减函数。

注：无论是单增还是单减，只要内函数和外函数都是单调函数，则复合函数也一定是单调函数。

• 复合函数的奇偶性

① 如果内函数为奇函数，则复合函数的奇偶性与外函数的奇偶性保持一致；

② 如果内函数为偶函数，则复合函数必为偶函数。

• 复合函数的周期性

① 若内函数为周期函数，则复合函数一定也是周期函数；

② 若外函数为周期函数，则复合函数不一定为周期函数。

• 复合函数的有界性

① 若内函数有界且外函数有界，则复合函数一定有界；

② 若内函数无界但外函数有界，则复合函数一定有界；

（上述两条总结一下就是，无论内函数是否有界，只要外函数有界，则复合函数一定有界。）

③ 若内函数有界但外函数无界或者内外函数都无界，这种情况下不能确定或者否定复合函数是有界还是无界，如果要确定或否定，还需要其他条件辅助分析。

有上面的阐述，我们可以发现，在判断复合函数的性质的时候，第一步要做的事情就是区分出内函数和外函数。本题在内外函数的区分上可能具有一定的迷惑性，我们不能认为在复合函数 “$f(x_n)$” 中，”$x_n$” 是外函数而 “$f(x)$” 是内函数，这是错误的。符号 “$\$”\mathrm{和}“\$$” 只是说明这是一个数列，而并不是一个运算符号，其意义是多个 “$f(x_n)$” 的值组成的数列，因此外函数是 “$f(x)$”, 内函数是 “$x_n$.”

下面是针对每个选项的具体分析：

A 项：

$x_n$ 收敛 → $x_n$ 有界；

$f(x)$ 有界 + $x_n$ 有界 → $f(x_n)$ 有界；

但是数列有界不能直接推出数列收敛，必须是单调且有界的数列才能推出收敛的结论。

A 项错误。

B 项：

$x_n$ 单调 + $f(x_n)$ 单调 → $f(x_n)$ 单调；

$f(x_n)$ 有界 → $f(x_n)$ 有界；

$f(x_n)$单调有界 → $f(x_n)$ 收敛。

B 项正确。

C 项：

由复合函数收敛不能确定其内函数是否也收敛。

C 项错误。

D 项：

$f(x_n)$ 有界 → $f(x_n)$ 有界；

$f(x_n)$单调有界 → $f(x_n)$ 收敛；

但是 $f(x_n)$ 收敛推不出内函数 $x_n$ 也收敛，和 C 项原因一致。

D 项错误。

综上可知，正确选项是：B

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