转为极坐标系后，怎么确定新的积分上下限？

一、题目

已知积分区域 $D$ $=$ $\{(x,y)\mid x^2+y^2⩽y\}$, 求二重积分 $I$ $=$ ${\iint }_D\sqrt{1-x^2-y^2}\mathrm{d}\sigma$.

难度评级：

二、解析

首先，我们需要确定积分区域的形状：

$$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2⩽y& \rightleftarrows \\ x^2+y^2–y⩽0& \rightleftarrows \\ & x^2+{(y-\frac{1}{2})}^2⩽{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\end{array}$$

因此，积分区域 $D$ 是一个圆心在 $(0,\frac{1}{2})$, 半径为 $\frac{1}{2}$ 的圆，如图 01 所示：

由于积分区域为圆，且关于 $Y$ 轴对称，因此，我们考虑将二重积分 $I$ 转到极坐标系中进行计算，由于：

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}\Rightarrow x^2+y^2=r^2$$

所以：

$$\begin{array}{rl}I& ={\iint }_D\sqrt{1-(x^2+y^2)}\mathrm{d}\sigma \\ & ={\iint }_D\sqrt{1-r^2}\cdot r\cdot \mathrm{d}\sigma \\ & =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\sin \theta }r\sqrt{1-r^2}\mathrm{d}r\end{array}$$

那么，上面的角度 $\theta$ 和径长度 $r$ 的取值范围是怎么确定的呢？

首先，由于我们只在 $Y$ 轴右半轴的第一象限内积分，观察可知，$\theta$ 的取值范围应该为：

$$\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$$

接着，由积分区域的表达式可得：

$$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2⩽y& \Rightarrow \\ r^2{\cos }^2\theta +r^2{\sin }^2\theta =r\sin \theta & \Rightarrow \\ r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =\sin \theta & \Rightarrow \\ r({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )=\sin \theta & \Rightarrow \\ & r=\sin \theta \end{array}$$

因此，$r$ 的取值范围为：

$$r\in (0,\sin \theta )$$

于是：

$$\begin{array}{rl}I& =-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\sin \theta }{(1-r^2)}^{\frac{1}{2}}d(1-r^2)\\ \\ & =-{{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{2}{3}{(1-r^2)}^{\frac{3}{2}}|}_0^{\sin \theta }\mathrm{d}\theta \\ \\ & =-\frac{2}{3}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^3\theta -1)\mathrm{d}\theta \\ \\ & =-\frac{2}{3}[\frac{2}{3}\cdot 1-\frac{\pi }{2}]\mathrm{d}\theta \\ \\ & =\frac{\pi }{3}-\frac{4}{9}\end{array}$$

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