一点处导数的表达式一致，但该点处的导数不一定存在

一、题目

一致 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{1+2^{\frac{1}{x}}},& x\ne 0,\\ 0,& x=0,\end{array}$

请讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的可导性。

难度评级：

二、解析

根据一点处导数的定义可知：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(0)\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}\end{array}$$

于是：

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1+2^{-\mathrm{\infty }}}=\frac{1}{1}=1$$

即：

$$f^{\prime }(0^{-})=1$$

又：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1+2^{\mathrm{\infty }}}=\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$$

即：

$$f^{\prime }(0^{+})=0$$

综上，由于函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处的左右导数不相等：

$$f^{\prime }(0^{-})\ne f^{\prime }(0^{+})$$

因此，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。

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