使用 e 抬起运算法的注意事项：分清楚数字 1 和极限 1

一、题目

已知 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2a}{x-a}\right)}^{2x}$ $=$ $\underset{t\to 0}{lim}(1-2t{)}^{\frac{1}{\sin t}}$, 则 $a=?$

难度评级：

二、解析

首先，分析可知，$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2a}{x-a}\right)}^{2x}$ 和 $\underset{t\to 0}{lim}(1-2t{)}^{\frac{1}{\sin t}}$ 都是 $1^{\mathrm{\infty }}$ 形式的式子，因此，可以尝试分别使用 “$e$ 抬起” 运算法：

由于式子 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2a}{x-a}\right)}^{2x}$ 中不显含数字 $1$, 仅存在极限 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{x+2a}{x-a}\right)=1$, 因此，需要进行加减凑项。

$$\begin{array}{r}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2a}{x-a}\right)}^{2x}\\ \\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{x+2a}{x-a}–1)}^{2x}\\ \\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left[{(1+\frac{3a}{x-a})}^{\frac{x-a}{3a}}\right]}^{2x\cdot \frac{3a}{x-a}}\\ \\ & ={\mathrm{e}}^{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}2x\cdot \frac{3a}{x-a}}\\ \\ & ={\mathrm{e}}^{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}2x\cdot \frac{3a}{x}}\\ \\ & ={\mathrm{e}}^{6a}\end{array}$$

又：

由于式子 $\underset{t\to 0}{lim}(1-2t{)}^{\frac{1}{\sin t}}$ 显含数字 $1$, 不需要凑项，直接使用 $e$ 抬起公式即可。

$$\begin{array}{r}\underset{t\to 0}{lim}(1-2t{)}^{\frac{1}{\sin t}}\\ \\ & =\underset{t\to 0}{lim}{\{[1+(-2t){]}^{-\frac{1}{2t}}\}}^{-\frac{2t}{\sin t}}\\ \\ & ={\mathrm{e}}^{-2}\end{array}$$

由题可知：

$${\mathrm{e}}^{6a}={\mathrm{e}}^{-2}$$

因此：

$$a=-\frac{1}{3}$$

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