使用 e 抬起运算法的注意事项：分清楚数字 1 和极限 1

一、题目

已知 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x}$ $=$ $\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}}$, 则 $a = ?$

难度评级：

二、解析

首先，分析可知，$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x}$ 和 $\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}}$ 都是 $1^{\infty}$ 形式的式子，因此，可以尝试分别使用 “$e$ 抬起” 运算法：

由于式子 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x}$ 中不显含数字 $1$, 仅存在极限 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right) = 1$, 因此，需要进行加减凑项。

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{2 x} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left( 1 + \frac{x+2 a}{x-a} – 1 \right)^{2 x} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{3 a}{x-a}\right)^{\frac{x-a}{3 a}}\right]^{2 x \cdot \frac{3 a}{x-a}} \\ \\
& = \mathrm{e}^{\lim \limits_{x \rightarrow \infty} 2 x \cdot \frac{3 a}{x-a}} \\ \\
& = \mathrm{e}^{\lim \limits_{x \rightarrow \infty} 2 x \cdot \frac{3 a}{x}} \\ \\
& = \mathrm{e}^{6 a}
\end{aligned}
$$

又：

由于式子 $\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}}$ 显含数字 $1$, 不需要凑项，直接使用 $e$ 抬起公式即可。

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{t \rightarrow 0}(1-2 t)^{\frac{1}{\sin t}} \\ \\
& = \lim \limits_{t \rightarrow 0}\left\{[1+(-2 t)]^{-\frac{1}{2 t}}\right\}^{-\frac{2 t}{\sin t}} \\ \\
& = \mathrm{e}^{-2}
\end{aligned}
$$

由题可知：

$$
\mathrm{e}^{6 a} = \mathrm{e}^{-2}
$$

因此：

$$
a = -\frac{1}{3}
$$

---