等价无穷小公式用不上怎么办：加加减减，恒等变形

一、题目

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{\sqrt{1-x^{2}}-1} = ?
$$

难度评级：

二、解析

首先，分析可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$$
\frac{\ln \cos x}{\sqrt{1-x^{2}}-1} = \frac{\ln 1}{1-1} = \frac{0}{0}
$$

因此，原式 $I$ 是一个 $\frac{0}{0}$ 型的极限，无法直接确定是否存在极限以及具体的极限值，需要使用等价无穷小公式或者洛必达法则进行转换和计算。

又因为，当 $x \rightarrow 0$ 时, 可以进行如下等价变换：

$$
\begin{aligned}
\ln \cos x \\
& = \ln [1+(\cos x-1)] \\
& \sim \cos x-1 \\
& \sim – \frac{1}{2} x^{2}
\end{aligned}
$$

又：

$$
\begin{aligned}
\sqrt{1-x^{2}}-1 \\
& = \left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}-1 \\
& \sim – \frac{1}{2} x^{2}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
I \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{\sqrt{1-x^{2}}-1} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- \frac{1}{2} x^{2}} \\
& = 1
\end{aligned}
$$

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