一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x}\right)^{\cos t^{3} x} = \ ?
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
分析可知,$I$ 是一个 $\left( \textcolor{yellow}{1} \right)^{\infty}$ 型极限,因此可以转为 $\lim_{x \rightarrow 0} (\textcolor{blue}{1} + 0)^{\infty} = e$ 的形式进行计算:
注意:
公式 $\lim_{x \rightarrow 0} (\textcolor{blue}{ \boldsymbol{1} } + 0)^{\infty} = e$ 中的 $\textcolor{blue}{ \boldsymbol{1} }$ 是数字 $1$, 而极限 $I$ $=$ $\left( \textcolor{violet}{ \boldsymbol{1} } \right)^{\infty}$ 中的 $\textcolor{violet}{ \boldsymbol{1} }$ 是极限 $1$, 这两个 $1$ 不能看作同一个 $1$——
需要通过先加 $1$ 再减 $1$ 的方式构造出真正的数字 $1$.
$$
\begin{aligned}
I = & \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x}\right)^{\cos t^{3} x} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{1+\sin x \cos 2 x}{1+\sin x \cos \beta x}-1\right)^{\cos t^{3} x} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{\sin x \cos 2 x-\sin x \cos \beta x}{1+\sin x \cos \beta x}\right]^{\operatorname{cost}^{3} x}
\end{aligned}
$$
为了接下来书写方便,令:
$$
K = \frac{\sin x \cos 2 x-\sin x \cos \beta x}{1+\sin x \cos \beta x}
$$
于是:
$$
\begin{aligned}
I = & \lim \limits_{x \rightarrow 0}[1 + K]^{\cos t^{3} x} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0}[1 + K]^{\frac{1}{K}} \cdot K \cos ^{3} x \\
= & e^{\lim \limits_{x \rightarrow 0} K \cos t^{3} x}
\end{aligned}
$$
又(注意下方春绿色和橙红色部分标注出来的非零因子极限的直接代入):
$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0} K \cos t^{3} x = & \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x(\cos \alpha x-\cos \beta x)}{1+\sin x \cos \beta x} \cdot \frac{\cos ^{3} x}{\sin ^{3} x} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\textcolor{springgreen}{\cos ^{3} x} (\cos \alpha x-\cos \beta x) }{\sin ^{2} x(1+\sin x \cos \beta x)} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\textcolor{springgreen}{1} \cdot (\cos 2 x-\cos \beta x)}{\sin ^{2} x(\textcolor{orangered}{1+\sin x \cos \beta x})} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos \beta x)-(1-\cos \alpha x) }{x^{2}(\textcolor{orangered}{1+0})} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}\left[(\beta x)^{2}-(\alpha x)^{2}\right]}{x^{2}}=\frac{\beta^{2}-\alpha^{2}}{2}
\end{aligned}
$$
综上可知:
$$
I=e^{\frac{\beta^{2}-2^{2}}{2}}
$$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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