等价无穷小公式用不上怎么办：加加减减，恒等变形

一、题目

$$I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln \cos x}{\sqrt{1-x^2}-1}=?$$

难度评级：

二、解析

首先，分析可知，当 $x\to 0$ 时，有：

$$\frac{\ln \cos x}{\sqrt{1-x^2}-1}=\frac{\ln 1}{1-1}=\frac{0}{0}$$

因此，原式 $I$ 是一个 $\frac{0}{0}$ 型的极限，无法直接确定是否存在极限以及具体的极限值，需要使用等价无穷小公式或者洛必达法则进行转换和计算。

又因为，当 $x\to 0$ 时, 可以进行如下等价变换：

$$\begin{array}{r}\ln \cos x\\ & =\ln [1+(\cos x-1)]\\ & \sim \cos x-1\\ & \sim –\frac{1}{2}{x}^2\end{array}$$

又：

$$\begin{array}{r}\sqrt{1-x^2}-1\\ & ={(1-x^2)}^{\frac{1}{2}}-1\\ & \sim –\frac{1}{2}{x}^2\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{r}I\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln \cos x}{\sqrt{1-x^2}-1}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{-\frac{1}{2}{x}^2}{-\frac{1}{2}{x}^2}\\ & =1\end{array}$$

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