无穷小量的计算技巧：通过改变次幂的方式提取公倍数

一、题目

已知 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-a}{x-a}=A$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{e^{f(x)}-e^{a}}{\sin (x-a)}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-a}{x-a}=A \Rightarrow \tag{1}
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a}[f(x)-a]=A(x-a)
$$

此外，由 $(1)$ 式，我们还可以知道：

由于 $\lim_{x \rightarrow a} (x-a) = 0$, 因此，$\lim_{x \rightarrow a} [f(x) – a] = 0$, 或者说，$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = a$

于是：

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{e^{f(x)}-e^{a}}{\sin (x-a)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{e^{a}\left[e^{f(x)-a}-1\right]}{\sin (x-a)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{e^{a} \cdot A(x-a)}{x-a} \\ \\
& = A e^{a}
\end{aligned}
$$

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