无穷小量的计算技巧：通过改变次幂的方式提取公倍数

一、题目

已知 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-a}{x-a}=A$, 则 $\underset{x\to a}{lim}\frac{e^{f(x)}-e^a}{\sin (x-a)}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-a}{x-a}=A\Rightarrow \end{array}$$

$$\underset{x\to a}{lim}[f(x)-a]=A(x-a)$$

此外，由 $(1)$ 式，我们还可以知道：

由于 $\underset{x\to a}{lim}(x-a)=0$, 因此，$\underset{x\to a}{lim}[f(x)–a]=0$, 或者说，$\underset{x\to a}{lim}f(x)=a$

于是：

$$\begin{array}{r}\underset{x\to a}{lim}\frac{e^{f(x)}-e^a}{\sin (x-a)}\\ \\ & =\underset{x\to a}{lim}\frac{e^a[e^{f(x)-a}-1]}{\sin (x-a)}\\ \\ & =\underset{x\to a}{lim}\frac{e^a\cdot A(x-a)}{x-a}\\ \\ & =A{e}^a\end{array}$$

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