变限积分求高阶导：分清谁是变量，能求出的先求出，能代入的先代入

一、题目

已知 $x=x(t)$ 由方程 $\sin t$ $-$ $\int_{1}^{x-t} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d} u$ $=$ $0$ 所确定, 则 $\left.\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}\right|_{t=0}$ $=$ $?$

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二、解析

首先，由题目已知条件 $x=x(t)$ 可知，$t$ 为自变量，$x$ 为因变量，因此，我们首先将 $\textcolor{orangered}{t = 0}$ 代入下式：

$$
\textcolor{yellow}{
\sin t-\int_{1}^{x-t} e^{-u^{2}} \mathrm{~d} u=0 } \tag{1}
$$

于是可得：

$$
0-\int_{1}^{x} e^{-u^{2}} \mathrm{~d} u=0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
x = 1
}
$$

或者记作：

$$
\left. x \right|_{t=0}=1
$$

接着，对上面的 $\textcolor{yellow}{(1)}$ 式求一阶导可得：

$$
\cos t-(x-t)_{t}^{\prime} \cdot e^{-(x-t)^{2}}=0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{yellow}{
\cos t-\left(\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} x}-1\right) \cdot e^{-(x-t)^{2}}=0 } \tag{2}
$$

于是，将 $\textcolor{orangered}{t = 0}$, $\textcolor{orangered}{x = 1}$ 代入 $\textcolor{yellow}{(2)}$ 式，可得：

$$
1-\left(\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} x}-1\right) \cdot \frac{1}{e}=0 \Rightarrow
$$

$$
1=\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} x} \cdot \frac{1}{e}-\frac{1}{e} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} x}=\left(1+\frac{1}{e}\right) \cdot e \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} x}=e+1
}
$$

接着，对上面的 $\textcolor{yellow}{(2)}$ 式中的 $t$ 继续求导，可得：

$$
\textcolor{yellow}{
-\sin t-\frac{\mathrm{~d}^{2} x}{\mathrm{~d} x^{2}} e^{-(x-t)^{2}}-\left(\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} x}-1\right) e^{-(x-t)^{2}} \left[-2\left(\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} x}-1\right)\right]=0 }
$$

将 $\textcolor{orangered}{t=0}$, $\textcolor{orangered}{x=1}$, $\textcolor{orangered}{\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} x}}$ $\textcolor{orangered}{=}$ $\textcolor{orangered}{e+1}$ 代入上式，可得：

$$
0-\frac{\mathrm{~d}^{2} x}{\mathrm{~d} x^{2}} \cdot \frac{1}{e}-e \cdot \frac{1}{e}(-2 e)=0 \Rightarrow
$$

$$
-\frac{\mathrm{~d}^{2} x}{\mathrm{~d} x^{2}} \cdot \frac{1}{e}+2 e=0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{~d}^{2} x}{\mathrm{~d} x^{2}} \cdot \frac{1}{e}=2 e \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\frac{\mathrm{~d}^{2} x}{\mathrm{~d} x^{2}} = 2 e^{2}
}
$$

即：

$$
\left.\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}\right|_{t=0} = 2 e^{2}
$$

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