遇到关于对数函数的式子，先将乘除变加减

一、题目

设可导函数 $f(x)>0$, 则：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\ln \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{f(0)}=?$$

难度评级：

二、解析

首先：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\ln \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{f(0)}=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n[\ln f\left(\frac{1}{n}\right)–\ln f(0)]=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln f\left(\frac{1}{n}\right)–\ln f(0)}{\frac{1}{n}–0}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln f\left(x\right)–\ln f(0)}{x–0}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}{[\ln f(x)]}^{\prime }=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{f^{\prime }(0)}{f(0)}$$

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