在无穷大的环境中，只有次幂最高的起作用

一、题目

已知 $I$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)}{(2 x-1)^{\alpha}}=\beta \neq 0$, 则：

$$
\begin{cases}
\alpha = ? \\
\beta = ?
\end{cases}
$$

难度评级：

二、解析

首先，由于原式 $I$ 分子中多项式 $(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)$ 相乘能得到的关于 $x$ 的最大次幂是 $5$, 且原式最终所得的极限值 $\beta \neq 0$, 于是，在无穷大的环境中，原式的分子和分母是“ 同阶无穷大 ”，这就要求原式分母中 $x$ 的最高次幂也应该是 $5$, 即：

$$
\alpha = 5
$$

接着：

$$
\begin{aligned}
I \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)}{(2 x-1)^{\alpha}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)}{(2 x-1)^{5}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{ \textcolor{springgreen}{\frac{1}{x^{5}} }(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)}{ \textcolor{springgreen}{\frac{1}{x^{5}} }(2 x-1)^{5}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x+1}{x} \cdot \frac{2 x+1}{x} \cdot \frac{3 x+1}{x} \cdot \frac{4 x+1}{x} \cdot \frac{5 x+1}{x}}{\left(\frac{2 x-1}{x}\right)^{5}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\left(1 + \cancel{ \textcolor{orangered}{\frac{1}{x}} } \right) \cdot \left(2 + \cancel{ \textcolor{orangered}{\frac{1}{x}} } \right) \left(3 + \cancel{ \textcolor{orangered}{\frac{1}{x}} } \right) \left(4 + \cancel{ \textcolor{orangered}{\frac{1}{x}} } \right) \left(5 + \cancel{ \textcolor{orangered}{\frac{1}{x}} } \right)}{ \left(2 – \cancel{ \textcolor{orangered}{\frac{1}{x}} } \right)^{5}} \\
& = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{2^{5}} = \beta
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\beta=\frac{5 !}{2^{5}}
$$

综上可知：

$$
\begin{cases}
\alpha = 5 \\
\beta=\frac{5 !}{2^{5}}
\end{cases}
$$

相关例题

1. 在无穷小的环境中，只有次幂最低的起作用

---