极限乘法运算中，极限非零的因子的极限可以直接代入

一、题目

$$I=\underset{x\to 0}{lim}{\left(\frac{1+\sin x\cos \alpha x}{1+\sin x\cos \beta x}\right)}^{\cos t^{3}x}=?$$

难度评级：

二、解析

分析可知，$I$ 是一个 ${\left(1\right)}^{\mathrm{\infty }}$ 型极限，因此可以转为 $\underset{x\to 0}{lim}(1+0{)}^{\mathrm{\infty }}=e$ 的形式进行计算：

注意：
公式 $\underset{x\to 0}{lim}(\mathbf{1}+0{)}^{\mathrm{\infty }}=e$ 中的 $\mathbf{1}$ 是数字 $1$, 而极限 $I$ $=$ ${\left(\mathbf{1}\right)}^{\mathrm{\infty }}$ 中的 $\mathbf{1}$ 是极限 $1$, 这两个 $1$ 不能看作同一个 $1$——

需要通过先加 $1$ 再减 $1$ 的方式构造出真正的数字 $1$.

$$\begin{array}{rl}I=& \underset{x\to 0}{lim}{\left(\frac{1+\sin x\cos \alpha x}{1+\sin x\cos \beta x}\right)}^{\cos t^{3}x}\\ =& \underset{x\to 0}{lim}{(1+\frac{1+\sin x\cos 2x}{1+\sin x\cos \beta x}-1)}^{\cos t^{3}x}\\ =& \underset{x\to 0}{lim}{[1+\frac{\sin x\cos 2x-\sin x\cos \beta x}{1+\sin x\cos \beta x}]}^{{\mathrm{cost}}^{3}x}\end{array}$$

为了接下来书写方便，令：

$$K=\frac{\sin x\cos 2x-\sin x\cos \beta x}{1+\sin x\cos \beta x}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}I=& \underset{x\to 0}{lim}[1+K{]}^{\cos t^{3}x}\\ =& \underset{x\to 0}{lim}[1+K{]}^{\frac{1}{K}}\cdot K{\cos }^{3}x\\ =& e^{\underset{x\to 0}{lim}K\cos t^{3}x}\end{array}$$

又（注意下方春绿色和橙红色部分标注出来的非零因子极限的直接代入）：

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}K\cos t^{3}x=& \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x(\cos \alpha x-\cos \beta x)}{1+\sin x\cos \beta x}\cdot \frac{{\cos }^{3}x}{{\sin }^{3}x}\\ =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\cos }^{3}x(\cos \alpha x-\cos \beta x)}{{\sin }^{2}x(1+\sin x\cos \beta x)}\\ =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{1\cdot (\cos 2x-\cos \beta x)}{{\sin }^{2}x(1+\sin x\cos \beta x)}\\ =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{(1-\cos \beta x)-(1-\cos \alpha x)}{x^2(1+0)}\\ =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}[(\beta x{)}^2-(\alpha x{)}^2]}{x^2}=\frac{{\beta }^2-{\alpha }^2}{2}\end{array}$$

综上可知：

$$I=e^{\frac{{\beta }^2-2^2}{2}}$$

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