极限乘法运算中，极限非零的因子的极限可以直接代入

一、题目

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x}\right)^{\cos t^{3} x} = \ ?
$$

难度评级：

二、解析

分析可知，$I$ 是一个 $\left( \textcolor{yellow}{1} \right)^{\infty}$ 型极限，因此可以转为 $\lim_{x \rightarrow 0} (\textcolor{blue}{1} + 0)^{\infty} = e$ 的形式进行计算：

注意：
公式 $\lim_{x \rightarrow 0} (\textcolor{blue}{ \boldsymbol{1} } + 0)^{\infty} = e$ 中的 $\textcolor{blue}{ \boldsymbol{1} }$ 是数字 $1$, 而极限 $I$ $=$ $\left( \textcolor{violet}{ \boldsymbol{1} } \right)^{\infty}$ 中的 $\textcolor{violet}{ \boldsymbol{1} }$ 是极限 $1$, 这两个 $1$ 不能看作同一个 $1$——

需要通过先加 $1$ 再减 $1$ 的方式构造出真正的数字 $1$.

$$
\begin{aligned}
I = & \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x}\right)^{\cos t^{3} x} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{1+\sin x \cos 2 x}{1+\sin x \cos \beta x}-1\right)^{\cos t^{3} x} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{\sin x \cos 2 x-\sin x \cos \beta x}{1+\sin x \cos \beta x}\right]^{\operatorname{cost}^{3} x}
\end{aligned}
$$

为了接下来书写方便，令：

$$
K = \frac{\sin x \cos 2 x-\sin x \cos \beta x}{1+\sin x \cos \beta x}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
I = & \lim \limits_{x \rightarrow 0}[1 + K]^{\cos t^{3} x} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0}[1 + K]^{\frac{1}{K}} \cdot K \cos ^{3} x \\
= & e^{\lim \limits_{x \rightarrow 0} K \cos t^{3} x}
\end{aligned}
$$

又（注意下方春绿色和橙红色部分标注出来的非零因子极限的直接代入）：

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0} K \cos t^{3} x = & \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x(\cos \alpha x-\cos \beta x)}{1+\sin x \cos \beta x} \cdot \frac{\cos ^{3} x}{\sin ^{3} x} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\textcolor{springgreen}{\cos ^{3} x} (\cos \alpha x-\cos \beta x) }{\sin ^{2} x(1+\sin x \cos \beta x)} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\textcolor{springgreen}{1} \cdot (\cos 2 x-\cos \beta x)}{\sin ^{2} x(\textcolor{orangered}{1+\sin x \cos \beta x})} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos \beta x)-(1-\cos \alpha x) }{x^{2}(\textcolor{orangered}{1+0})} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}\left[(\beta x)^{2}-(\alpha x)^{2}\right]}{x^{2}}=\frac{\beta^{2}-\alpha^{2}}{2}
\end{aligned}
$$

综上可知：

$$
I=e^{\frac{\beta^{2}-2^{2}}{2}}
$$

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