由曲率圆逆推曲率

一、题目

设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆为 $x^2+(y-1{)}^2=1$, 则当 $x\to 0$ 时, $f(x)$ 为 $x^2$ 的 ( )

难度评级：

二、解析

由《什么是曲率？什么是曲率圆？》这篇文章可知，曲率圆就是弯曲程度和曲线上一点处的弯曲程度相同的一个圆——曲率圆是和曲线上的点伴随出现的，因此，根据题目信息我们知道：

§. 曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0,0)$, 即：$f(0)=0$;

§. 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处切线的斜率和对应的曲率圆在点 $(0,0)$ 处切线的斜率相等。

进一步分析可知，曲率圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 是一个圆心位于 $(0,1)$ 点处，半径 $r=1$ 的圆，此时，该圆在点 $(0,0)$ 处的切线刚好水平（如图 01 所示），因此：

$$f^{\prime }(0)=0$$

由于圆的曲率 $K$ 在整个圆周上各点处都是相等的，而且，如果圆的半径为 $r$, 则圆的曲率 $K$ 为：

$$K=\frac{1}{r}$$

因此，对于半径 $r=1$ 的圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 而言，其曲率 $K$ 为：

$$K=\frac{1}{r}=\frac{1}{1}=1.$$

进而，由于曲线在一点处的曲率与该点处对应的曲率圆的曲率相等，因此，根据曲线曲率的计算公式，得：

$$K=\frac{|f^{\prime \prime }(0)|}{(1+f^{\prime 2}(0){)}^{\frac{3}{2}}}=1$$

又因为 $f^{\prime }(0)=0$, 因此：

$$|f^{\prime \prime }(0)|=1$$

继续分析可知，由于曲率圆位于 $X$ 轴上方的 $Y$ 轴正半轴，因此，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处一定是一个凹曲线（如图 01 所示），因此：

$$f^{\prime \prime }(0)>0\Rightarrow f^{\prime \prime }(0)=1$$

但是，我们到这里仍然没有将 $f(x)$ 与 $x^2$ 建立联系，不过这里已经出现了 $f(x)$ 的一阶导和二阶导，因此，我们可以尝试对 $f(x)$ 在 $x=0$ 处使用泰勒展开：

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots \Rightarrow$$

$$f(x)=0+0+\frac{1}{2}{x}^2$$

于是：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^2}=\frac{1}{2}$$

综上可知，当 $x\to 0$ 时, $f(x)$ 为 $x^2$ 的同阶但不等价无穷小，D 选项正确。

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