由曲率圆逆推曲率

一、题目

设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆为 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 为 $x^{2}$ 的 ( )

难度评级：

二、解析

由《什么是曲率？什么是曲率圆？》这篇文章可知，曲率圆就是弯曲程度和曲线上一点处的弯曲程度相同的一个圆——曲率圆是和曲线上的点伴随出现的，因此，根据题目信息我们知道：

§. 曲线 $y = f(x)$ 过点 $(0, 0)$, 即：$f(0) = 0$;

§. 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, 0)$ 处切线的斜率和对应的曲率圆在点 $(0, 0)$ 处切线的斜率相等。

进一步分析可知，曲率圆 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ 是一个圆心位于 $(0, 1)$ 点处，半径 $r = 1$ 的圆，此时，该圆在点 $(0, 0)$ 处的切线刚好水平（如图 01 所示），因此：

$$
f^{\prime}(0) = 0
$$

由于圆的曲率 $K$ 在整个圆周上各点处都是相等的，而且，如果圆的半径为 $r$, 则圆的曲率 $K$ 为：

$$
K = \frac{1}{r}
$$

因此，对于半径 $r = 1$ 的圆 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ 而言，其曲率 $K$ 为：

$$
\textcolor{springgreen}{
K = \frac{1}{r} = \frac{1}{1} = 1 }.
$$

进而，由于曲线在一点处的曲率与该点处对应的曲率圆的曲率相等，因此，根据曲线曲率的计算公式，得：

$$
\textcolor{springgreen}{
K = \frac{|f^{\prime \prime}(0)|}{(1 + f^{\prime 2}(0))^{\frac{3}{2}}} = 1 }
$$

又因为 $f^{\prime}(0) = 0$, 因此：

$$
|f^{\prime \prime}(0)| = 1
$$

继续分析可知，由于曲率圆位于 $X$ 轴上方的 $Y$ 轴正半轴，因此，曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, 0)$ 处一定是一个凹曲线（如图 01 所示），因此：

$$
f^{\prime \prime}(0) > 0 \Rightarrow f^{\prime \prime} (0) = 1
$$

但是，我们到这里仍然没有将 $f(x)$ 与 $x^{2}$ 建立联系，不过这里已经出现了 $f(x)$ 的一阶导和二阶导，因此，我们可以尝试对 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处使用泰勒展开：

$$
\textcolor{springgreen}{
f(x) = f(0) + f^{\prime}(0) x + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!}x^{2} + \cdots } \Rightarrow
$$

$$
f(x) = 0 + 0 + \frac{1}{2}x^{2}
$$

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}} = \frac{1}{2}
$$

综上可知，当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 为 $x^{2}$ 的同阶但不等价无穷小，D 选项正确。

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