如何求解曲率圆的方程？

一、前言

曲率圆也称为“密切圆”，曲率圆描述了曲线在某一点处的弯曲程度。有关曲率圆的一些基础内容，可以查看荒原之梦考研数学的《什么是曲率？什么是曲率圆？》这篇文章。

在本文中，荒原之梦考研数学将给出计算曲线上某点处曲率圆方程的步骤和公式。

二、正文

假设我们要求解曲线 $y = f(x)$ 上一点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的曲率圆，则，该曲率圆的表达式应为：

$$
\textcolor{springgreen}{
(x – \textcolor{yellow}{ \alpha })^{2}+(x – \textcolor{yellow}{ \beta })^{2} = \textcolor{orangered}{ R }^{2} } \tag{1}
$$

Next

若用 $K$ 表示曲率，则 $(1)$ 式中的曲率圆半径（曲率半径）$R$ 为：

$$
\textcolor{orangered}{ R } = \frac{1}{K}
$$

如果是一般的方程 $y = f(x)$, 则其曲率计算公式为：
$$
K = \frac{\left|f^{\prime \prime}(x_{0})\right|}{\left[1 + f^{\prime 2}(x_{0})\right]^{\frac{3}{2}}}
$$

如果是参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\omega(t)\end{array}\right.$, 则其曲率计算公式为：
$$
K=\frac{\left|\varphi^{\prime}(t) \omega^{\prime \prime}(t)-\omega^{\prime}(t) \varphi^{\prime \prime}(t)\right|}{\left[\varphi^{\prime 2}(t)+\omega^{\prime 2}(t)\right]^{\frac{3}{2}}}
$$

如果是极坐标方程 $r = \rho(\theta)$, 则其曲率计算公式为：
$$
K = \frac{|\rho^{2} + 2 \rho^{\prime 2} – \rho \rho^{\prime \prime}|}{(\rho^{2} + \rho^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}
$$

Next

$(\alpha, \beta)$ 表示该曲率圆的圆心（点 $(x_{0}, y_{0})$ 的曲率中心），且：

$$
\textcolor{yellow}{ \alpha } = x_{0} \ \ – \ \ \frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left\{1+\left[f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right]^{2}\right\} }{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}
$$

$$
\textcolor{yellow}{ \beta } = y_{0} \ + \ \frac{1+\left[f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right]^{2}}{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}
$$

相关例题

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