乘法对间断点的「弥合」作用强于加法

一、题目

已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内都有定义，且 $x=x_1$ 是 $f(x)$ 的唯一间断点, $x=$ $x_2$ 是 $g(x)$ 的唯一间断点，则：

(A) 当 $x_1=x_2$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_1$

(B) 当 $x_1\ne x_2$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_1$ 与 $x=x_2$

(C) 当 $x_1=x_2$ 时, $f(x)g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_1$

(D) 当 $x_1\ne x_2$ 时, $f(x)g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_1$ 与 $x=x_2$

难度评级：

二、解析

若：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x>0\\ 0,& x⩽0\end{array}$$

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x>0\\ -1,& x⩽0\end{array}$$

则：

$$f(x)+g(x)=f(x)g(x)=0$$

因此，A、C 选项错。

又：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x⩽0\end{array}$$

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x>-1\\ 1,& x⩽-1\end{array}$$

则：

$$f(x)g(x)=0$$

因此，D 选项错。

综上可知，本题应选 B.

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