洛必达法则只能用于求极限，不能用于传递极限值

一、题目

以下运算和结论都正确的有哪些？

(1) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x^2}}}{x}$ $=$ $\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x^2}}\left(\frac{2}{x^3}\right)}{1}=2\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3}$ $=$ $\frac{4}{3}\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x^2}}}{x^5}=\cdots =\mathrm{\infty }$

(2) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ $=$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$ $=$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=\cdots$, 由于分子与分母一直反复，所以该极限不存在。

(3) 由于 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1+\frac{\cos x}{x}}$ $=$ $\frac{1+0}{1+0}=1$, 另一方面 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ 为 “$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$” 型，由洛必达法则, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\cos x}{1-\sin x}$, 所以 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\cos x}{1-\sin x}=1$

难度评级：

二、解析

(1)

该运算进行下去只能导致分母的次方越来越大，式子仍然是 $\frac{0}{0}$ 型，不能通过洛必达运算得出任何结论，自然也不能得出结果为 $\mathrm{\infty }$ 的结论。

(2)

由于用了洛必达法则会产生“反复”，因此该运算也不能用洛必达法则，更不能通过洛必达运算判断极限是否存在，或者极限等于多少。

(3)

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\cos x}{1-\sin x}$ 的极限其实是不存在的，我们不能因为可以用洛必达运算得到这个式子就得出其极限值，因为洛必达法则只能用于求极限，不能用于传递极限值。

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