如何根据微分方程的特解找出通解，进而还原这个微分方程？

一、题目

已知 $y_1=\cos 2x-\frac{1}{4}x\cos 2x$, $y_2=\sin 2x-\frac{1}{4}x\cos 2x$ 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的两个解, $y_3=\cos 2x$ 是它所对应的齐次方程的一个解，则该微分方程是？

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二、解析

由题可知，$y_1–y_2$ 是齐次微分方程的解：

$$y_1–y_2=\cos 2x–\sin 2x$$

进而可知，$y_1–y_2–y_3$ 也是对应的齐次微分方程给的通解：

$$y_1–y_2–y_3=–\sin 2x$$

于是可知，该齐次微分方程的通解形式应为：

$$y^{\ast }=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$$

于是，特征值为：

$$\lambda =0\pm 2i$$

即：

$${\lambda }^2+4=0\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }+4y=0$$

进一步观察可知，既然 $y_1=\cos 2x-\frac{1}{4}x\cos 2x$, $y_2=\sin 2x-\frac{1}{4}x\cos 2x$ 中的 $\cos 2x$ 和 $\sin 2x$ 来自齐次微分方程的通解，那么，$-\frac{1}{4}x\cos 2x$ 就应该是非齐次微分方程的特解，于是：

$$(-\frac{1}{4}x\cos 2x{)}^{\prime }=\frac{-1}{4}(\cos 2x–2x\sin 2x)\Rightarrow$$

$$(-\frac{1}{4}x\cos 2x{)}^{\prime \prime }=\sin 2x+x\cos 2x$$

于是：

$$(-\frac{1}{4}x\cos 2x{)}^{\prime \prime }+4(-\frac{1}{4}x\cos 2x)=\sin 2x$$

于是，非齐次微分方程为：

$$y^{\prime \prime }+4y=\sin 2x$$

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