对函数垂直渐近线的考察需要分「左右」两侧

一、题目

曲线 $y=(x+2){\mathrm{e}}^{\frac{-1}{x}}$

(A) 仅有水平渐近线

(B) 仅有铅直渐近线

(C) 既有铅直又有水平渐近线

(D) 既有铅直又有斜渐近线

难度评级：

二、解析

水平渐近线：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x+2)e^{\frac{x-1}{x}}=+\mathrm{\infty }\cdot e=+\mathrm{\infty }$$

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(x+2)e^{\frac{x-1}{x}}=-\mathrm{\infty }\cdot e=-\mathrm{\infty }$$

由上面的计算可知，不存在水平渐近线。

垂直渐近线：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}(x+2)e^{\frac{x-1}{x}}=2\cdot e^{-\mathrm{\infty }}=0$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}(x+2)e^{\frac{x-1}{x}}=2\cdot e^{+\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$$

由上面的计算可知，当 $x\to 0^{-}$ 时有垂直渐近线。

倾斜渐近线：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(x+2)e^{\frac{x-1}{x}}}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[e^{\frac{x-1}{x}}+2\frac{e^{\frac{x-1}{x}}}{x}]=e$$

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(x+2)e^{\frac{x-1}{x}}}{x}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[e^{\frac{x-1}{x}}+2\frac{e^{\frac{x-1}{x}}}{x}]=e$$

由上面的计算可知，存在一条斜率为 $e$ 的倾斜渐近线。

综上可知，本题应选 D.

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