对函数垂直渐近线的考察需要分「左右」两侧

一、题目

曲线 $y=(x+2) \mathrm{e}^{\frac{-1}{x}}$

(A) 仅有水平渐近线

(B) 仅有铅直渐近线

(C) 既有铅直又有水平渐近线

(D) 既有铅直又有斜渐近线

难度评级：

二、解析

水平渐近线：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}(x+2) e^{\frac{x-1}{x}}=+\infty \cdot e = \textcolor{orangered}{+\infty}
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow-\infty}(x+2) e^{\frac{x-1}{x}}=-\infty \cdot e = \textcolor{orangered}{-\infty}
$$

由上面的计算可知，不存在水平渐近线。

垂直渐近线：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}(x+2) e^{\frac{x-1}{x}}=2 \cdot e^{-\infty} = \textcolor{orangered}{0}
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}}(x+2) e^{\frac{x-1}{x}}=2 \cdot e^{+\infty}=+\infty
}
$$

由上面的计算可知，当 $x \rightarrow 0^{-}$ 时有垂直渐近线。

倾斜渐近线：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{(x+2) e^{\frac{x-1}{x}}}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}\left[e^{\frac{x-1}{x}}+2 \frac{e^{\frac{x-1}{x}}}{x}\right] = \textcolor{springgreen}{e}
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \frac{(x+2) e^{\frac{x-1}{x}}}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow-\infty}\left[e^{\frac{x-1}{x}}+2 \frac{e^{\frac{x-1}{x}}}{x}\right] = \textcolor{springgreen}{e}
$$

由上面的计算可知，存在一条斜率为 $e$ 的倾斜渐近线。

综上可知，本题应选 D.

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