带着根号求导找极值很复杂，可以先平方去根号后再求导

一、题目

曲线 $y=\ln x$ 上点的曲率具有性质：

(A) 最大值为 $\frac{2}{9} \sqrt{3}$

(B) 最小值为 $\frac{1}{8}$

(C) 最大值为 $\frac{1}{9} \sqrt{3}$

(D) 无最大值

难度评级：

二、解析

首先：

$$
y=\ln x \quad y^{\prime}=\frac{1}{x} \quad y^{\prime \prime}=\frac{-1}{x^{2}}, \quad x>0
$$

又：

$$
K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow K=\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow
$$

$$
K=\frac{1}{x^{2}} \frac{|x|^{3}}{\sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}}} \Rightarrow K=\frac{x}{\sqrt{\left(x^{2}+1\right)^{3}}} \Rightarrow
$$

带着根号求导很复杂，因此先平方去根号：

$$
K^{2}=\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}=f(x)
$$

于是：

$$
f^{\prime}(x)=\frac{2 x\left(x^{2}+1\right)^{3}-x^{2} \cdot 3\left(x^{2}+1\right)^{2} \cdot 2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{6}} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=\frac{2 x\left(1-2 x^{2}\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{4}} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow x^{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x) \begin{cases}
> 0, & 0 < x^{2} < \frac{1}{2} \\
= 0, & x^{2} = \frac{1}{2} \\
< 0, & x^{2} > \frac{1}{2}
\end{cases}
$$

于是可知，$f(x)$ 先增后减，在 $x^{2}=\frac{1}{2}$，即 $x=\frac{1}{\sqrt{2}} \ (x>0)$ 处取得最大值：

$$
f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{27}{8}}=\frac{4}{27} \Rightarrow
$$

$$
K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{\frac{4}{27}}=\frac{2}{3 \sqrt{3}}=\frac{2}{9} \sqrt{3}
$$

综上可知，本题应选 A.

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