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只有线性无关的解才能组合形成齐次微分方程的通解

一、题目

已知 $f_{1} (x), f_{2} (x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{''} + p y^{'} + q y = 0$ 的两个特解, $C_{1}, C_{2}$ 是两个任意常数, 则 $C_{1} f_{1} (x) + C_{2} f_{2} (x)$ 是该方程通解的充分条件是：

(A) $f_{1} (x) f_{2}^{'} (x) - f_{2} (x) f_{1}^{'} (x) = 0$
(B) $f_{1} (x) f_{2}^{'} (x) + f_{2} (x) f_{1}^{'} (x) = 0$
(C) $f_{1} (x) f_{2}^{'} (x) + f_{2} (x) f_{1}^{'} (x) \neq 0$
(D) $f_{1} (x) f_{2}^{'} (x) - f_{2} (x) f_{1}^{'} (x) \neq 0$

难度评级：

二、解析

只要 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 能使方程等于零，则无论在他们前面乘以什么数字，这一结论都是不变的。

但是，如果 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 是线性相关的，那么， $C f_{1} + C_{2} f_{2}$ 就不是方程的通解了——

也就是说，为了使 $C_{1} f_{1} + C_{2} f_{2}$ 是方程的通解，必须保证 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 线性无关，即：

$f_{1} \neq C f_{2} \Rightarrow$

$\frac{f_{1}}{f_{2}} \neq C \Rightarrow$

$(\frac{f_{1}}{f_{2}})^{'} \neq 0 \Rightarrow$

$\frac{f_{1}^{'} f_{2} - f_{1} f_{2}^{'}}{f_{2}^{2}} \neq 0 \Rightarrow$

$f_{1}^{'} f_{2} - f_{1} f_{2}^{'} \neq 0$

或者：

$f_{1} f_{2}^{'} - f_{1}^{'} f_{2} \neq 0$

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