这样的式子你见过吗：无论分母大于零还是小于零，分式整体都大于零

一、题目

已知 $f(x)$ 对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ 满足方程 $(x-1) f^{\prime \prime}(x)$ $+$ $2(x-1)\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}=$ $1-\mathrm{e}^{1-x}$, 且 $f(x)$ 在 $x=a(a \neq 1)$ 处 $f^{\prime}(a)=0$, 则 $x=a$ 时 $f(x)$ 取得极值吗？如果取得极值，是极大值还是极小值？

难度评级：

二、解析

由 $f^{\prime}(a)=0$ 可以直接知道 $f(x)$ 在 $x = a$ 处一定取得极值。

又已知：

$$
(x-1) f^{\prime \prime}(x)+2(x-1)\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}=1-e^{1-x}
$$

因此，当 $x=a$ 时：

$$
(a-1) f^{\prime \prime}(a)+2(a-1)\left[f^{\prime}(a)\right]^{3}=1-e^{1-a} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(a)=0 \Rightarrow(a-1) f^{\prime \prime}(a)=1-e^{1-a} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime}(a)=\frac{1-e^{1-a}}{a-1}
$$

当 $a>1$, 即 $a – 1 > 0$ 时：

$$
f^{\prime \prime}(a)>0
$$

当 $a<1$, 即 $a – 1 < 0$ 时：

$$
f^{\prime \prime}(a)>0
$$

因此，$f(x)$ 在 $x = a$ 处取得极值，而且是极小值。

---