这样的式子你见过吗：无论分母大于零还是小于零，分式整体都大于零

一、题目

已知 $f(x)$ 对一切 $x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 满足方程 $(x-1)f^{\prime \prime }(x)$ $+$ $2(x-1){[f^{\prime }(x)]}^3=$ $1-{\mathrm{e}}^{1-x}$, 且 $f(x)$ 在 $x=a(a\ne 1)$ 处 $f^{\prime }(a)=0$, 则 $x=a$ 时 $f(x)$ 取得极值吗？如果取得极值，是极大值还是极小值？

难度评级：

二、解析

由 $f^{\prime }(a)=0$ 可以直接知道 $f(x)$ 在 $x=a$ 处一定取得极值。

又已知：

$$(x-1)f^{\prime \prime }(x)+2(x-1){[f^{\prime }(x)]}^3=1-e^{1-x}$$

因此，当 $x=a$ 时：

$$(a-1)f^{\prime \prime }(a)+2(a-1){[f^{\prime }(a)]}^3=1-e^{1-a}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(a)=0\Rightarrow (a-1)f^{\prime \prime }(a)=1-e^{1-a}\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime }(a)=\frac{1-e^{1-a}}{a-1}$$

当 $a>1$, 即 $a–1>0$ 时：

$$f^{\prime \prime }(a)>0$$

当 $a<1$, 即 $a–1<0$ 时：

$$f^{\prime \prime }(a)>0$$

因此，$f(x)$ 在 $x=a$ 处取得极值，而且是极小值。

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