复合函数的可导性是外层函数可导性的子集

一、题目

已知 $f(0)=0$, 则 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f\left(x^2\right)}{x^2}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的充要条件吗？

难度评级：

二、解析

由题可知，下式的极限存在：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x^2)–f(0)}{x^2–0}=f^{\prime }(x^2)$$

但是，$f^{\prime }(x^2)$ 存在并不能说明 $f^{\prime }(x)$ 存在。

例如，若 $f(x)=|x|$, 贼 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导，但是，$f^{x^2}=|x^2|=x^2$ 在 $x=0$ 处却是可导的，因此，根据“前充分后必要，小充分大必要”的原理，$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f\left(x^2\right)}{x^2}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的【必要非充分条件】。

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