1990 年考研数二真题解析

八、解答题 (本题满分 9 分)

求微分方程 $y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y={\mathrm{e}}^{ax}$ 的通解, 其中 $a$ 为实数.

齐通：

$${\lambda }^2+4\lambda +4=0\Rightarrow \lambda =\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}\Rightarrow$$

$${\lambda }_1={\lambda }_2=-2.$$

$$y^{\ast }=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}$$

非奇特设为：

$$Y^{\ast }=x^k(A)e^{ax}$$

当 $a\ne -2$ 时：

$$Y^{\ast }=A{e}^{ax}\Rightarrow$$

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime }=aA{e}^{ax}{\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime \prime }=a^{2}A{e}^{ax}$$

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime \prime }+4{\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime }+4\left(Y^{\ast }\right)=e^{ax}\Rightarrow$$

$$a^{2}A+4aA+4A=1\Rightarrow$$

$$A=\frac{1}{(a+2{)}^2}$$

当 $a=-2$ 时：

$$Y^{\ast }=A{x}^2{e}^{ax}=A{x}^2{e}^{-2x}$$

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime }=A(2x{e}^{ax}+a{x}^2{e}^{ax}).$$

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime \prime }=A(2e^{ax}+2ax{e}^{ax}+2ax{e}^{ax}+a^2{x}^2{e}^{ax})\Rightarrow$$

$${\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime \prime }+4{\left(Y^{\ast }\right)}^{\prime }+4\left(Y^{\ast }\right)=e^{ax}\Rightarrow$$

$$A(2+2ax+2ax+a^2{x}^2)+4A(2x+a{x}^2)+$$

$$4A{x}^2=1\Rightarrow$$

$$A(2-8x+4x^2+8x-8x^2+4x^2)=1\Rightarrow$$

$$2A=1\Rightarrow A=\frac{1}{2}$$

$$Y=\{\begin{array}{l}(C_1+C_{2}x)e^{-2x}+\frac{1}{(x+2{)}^2}{e}^{ax},x\ne -2\\ (C_1+C_{2}x)e^{-2x}+\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-2x},x=-2\end{array}$$

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