1990 年考研数二真题解析

八、解答题 (本题满分 9 分)

求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{a x}$ 的通解, 其中 $a$ 为实数.

齐通：

$$
\lambda^{2}+4 \lambda+4=0 \Rightarrow \lambda=\frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{2} \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=\lambda_{2}=-2 .
$$

$$
y^{*}=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{-2 x}
$$

非奇特设为：

$$
Y^{*}=x^{k}(A) e^{a x}
$$

当 $a \neq-2$ 时：

$$
Y^{*}=A e^{a x} \Rightarrow
$$

$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime}=a A e^{a x} \quad \left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}=a^{2} A e^{a x}
$$

$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}+4\left(Y^{*}\right)^{\prime}+4\left(Y^{*}\right)=e^{a x} \Rightarrow
$$

$$
a^{2} A+4 a A+4 A=1 \Rightarrow
$$

$$
A = \frac{1}{(a+2)^{2}}
$$

当 $a=-2$ 时：

$$
Y^{*}=A x^{2} e^{a x}=A x^{2} e^{-2 x}
$$

$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime}=A\left(2 x e^{a x}+a x^{2} e^{a x}\right) .
$$

$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}=A\left(2 e^{a x}+2 a x e^{a x}+2 a x e^{a x}+\right. \left.a^{2} x^{2} e^{a x}\right) \Rightarrow
$$

$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}+4\left(Y^{*}\right)^{\prime}+4\left(Y^{*}\right)=e^{a x} \Rightarrow
$$

$$
A\left(2+2 a x+2 a x+a^{2} x^{2}\right)+4 A\left(2 x+a x^{2}\right)+
$$

$$
4 A x^{2}=1 \Rightarrow
$$

$$
A\left(2-8 x+4 x^{2}+8 x-8 x^{2}+4 x^{2}\right)=1 \Rightarrow
$$

$$
2 A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{2}
$$

$$
Y=\left\{\begin{array}{l}
\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{-2 x}+\frac{1}{(x+2)^{2}} e^{a x}, x \neq-2 \\ \left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{-2 x}+\frac{1}{2} x^{2} e^{-2 x}, x=-2
\end{array}\right.
$$

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