七、解答题 (本题满分 9 分)
过点 $P(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线, 该切线与上述抛物线及 $x$ 轴围成一平面图形, 求此图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
注意：关于本题中抛物线的相关知识，可以参考《抛物线的性质汇总》
设切点为 $P \left(x_{0}, y_{0}\right)$, 则：
$$
y^{\prime}=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x-2}} \Rightarrow
$$
$$
k=y_{0}^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x_{0}-2}} \Rightarrow y-y_{0}=\frac{1}{2 \sqrt{x_{0}-2}}\left(x-x_{0}\right)
$$
$$
y-\sqrt{x_{0}-2}=\frac{1}{2 \sqrt{x_{0}-2}}\left(1-x_{0}\right) \Rightarrow
$$
又：
$$
x=1, y=0 \Rightarrow 0-\sqrt{x_{0}-2}=\frac{1}{2 \sqrt{x_{0}-2}}\left(1-x_{0}\right)
$$
$$
-\left(x_{0}-2\right)=\frac{1}{2}\left(-x_{0}\right) \Rightarrow
$$
$$
x_{0}=3, y_{0}=1
$$
进而（圆锥体的体积公式为 $V_{1} = \frac{1}{3} S h$, 其中 $S$ 为圆锥体的底面积，$h$ 为圆锥体的高度）：
$$
V=\frac{\pi}{3}(3-1) \cdot 1^{2}-\pi \int_{2}^{3}(x-2) \mathrm{d} x \Rightarrow
$$
$$
V=\frac{2 \pi}{3}-\left.\pi\left(\frac{1}{2} x^{2}-2 x\right)\right|_{2} ^{3} \Rightarrow
$$
$$
V=\frac{2 \pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}
$$
$$
y-1=\frac{1}{2}(x-3) \Rightarrow
$$
$$
y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}
$$
其中，圆锥体的体积 $V_{1}$ 也可以使用旋转体的体积公式求解：
$$
V_{1}=\pi \int_{1}^{3}\left(\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}\right)^{2} \mathrm{d} x=\frac{\pi}{4} \int_{1}^{3}(x-1)^{2} \mathrm{d} x=
$$
$$
\left.\frac{\pi}{4}\left(\frac{1}{3} x^{3}+x-x^{2}\right)\right|_{1} ^{3}=
$$
$$
\frac{\pi}{4}\left[(9+3-9)-\left(\frac{1}{3}+1-1\right)\right]=
$$
$$
\frac{\pi}{4}\left[3-\frac{1}{3}\right]=\frac{2 \pi}{3}
$$