五、证明题 (本题满分 9 分)
证明: 当 $x>0$ 时,有不等式 $\arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}$.
注意：此类证明题一般都是要构造函数求极值或者最值。
$$
f(x)=\arctan x+\frac{1}{x} \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}<0
$$
又：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\arctan x+\frac{1}{x}\right)=
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}(\arctan x)=\frac{\pi}{2}
$$
因此：
$$
\arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}
$$