一个函数既是奇函数又是周期函数，可能会有什么样的性质？

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 为定义在 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，且 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$, $f(x+2)-$ $f(x)=f(2)$, 若 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数，则 $f(1)=?$

难度评级：

二、解析

解法一：特例法

令：

$$
f(x)=0
$$

能满足：

$$
f(x+2)-f(x)=f(2)
$$

因此：

$$
f(1)=0
$$

解法二

解题方法：把所有已知条件对应的性质都写出来，并往问题要求解的式子的形式上凑。

$$
T=2 \Rightarrow f(x+2)=f(x) \Rightarrow
$$

$$
f(x+2)-f(x)=0
$$

又：

$$
f(x+2)-f(x)=f(2)
$$

于是：

$$
f(2)=0 \Rightarrow f(2)=-f(-2) \Rightarrow-f(-2)=0 \Rightarrow
$$

$$
f(-2)=0 \Rightarrow
$$

令 $x=-1$, 则：

$$
f(x+2)-f(x)=f(2) \Rightarrow
$$

$$
f(+1)-f(-1)=0 \Rightarrow f(1)=-f(-1) \Rightarrow
$$

$$
f(1)+f(1)=0 \Rightarrow 2 f(1)=0 \Rightarrow
$$

$$
f(1)=0
$$

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