一个函数既是奇函数又是周期函数，可能会有什么样的性质？

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 为定义在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 的奇函数，且 $\mathrm{\forall }x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, $f(x+2)-$ $f(x)=f(2)$, 若 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数，则 $f(1)=?$

难度评级：

二、解析

解法一：特例法

令：

$$f(x)=0$$

能满足：

$$f(x+2)-f(x)=f(2)$$

因此：

$$f(1)=0$$

解法二

解题方法：把所有已知条件对应的性质都写出来，并往问题要求解的式子的形式上凑。

$$T=2\Rightarrow f(x+2)=f(x)\Rightarrow$$

$$f(x+2)-f(x)=0$$

又：

$$f(x+2)-f(x)=f(2)$$

于是：

$$f(2)=0\Rightarrow f(2)=-f(-2)\Rightarrow -f(-2)=0\Rightarrow$$

$$f(-2)=0\Rightarrow$$

令 $x=-1$, 则：

$$f(x+2)-f(x)=f(2)\Rightarrow$$

$$f(+1)-f(-1)=0\Rightarrow f(1)=-f(-1)\Rightarrow$$

$$f(1)+f(1)=0\Rightarrow 2f(1)=0\Rightarrow$$

$$f(1)=0$$

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