对于无法凑项消去的反常积分可以尝试倒数代换或者三角代换

一、题目

$$
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)} \mathrm{~ d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

解法一：倒数代换

Tips:

本题所给的式子本身是没办法直接进行积分运算的，同时，我们也没办法通过在分子中“凑项”的方式完成对分母中式子的降阶或者消去。因此，我们只能采取倒数代换或者三角代换的方式求解。

已知：

$$
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)} \mathrm{~ d} x
$$

若令 $x=\frac{1}{t}$, 则：

$$
x \in(0,+\infty) \Rightarrow t \in(+\infty, 0)
$$

$$
\mathrm{~ d} x=\frac{-1}{t^{2}} \mathrm{~ d} t
$$

于是：

$$
\textcolor{orange}{
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)} \mathrm{~ d} x } =
$$

$$
\int_{+\infty}^{0} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{t^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{t^{4}}\right)} \cdot \frac{-1}{t^{2}} \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{ \textcolor{orangered}{t^{4} } }{\left(1+\frac{1}{t^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{t^{4}}\right)} \cdot \frac{1}{ \textcolor{springgreen}{ t^{2} } \cdot \textcolor{orangered}{ t^{4} } } \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{ \textcolor{orangered}{t^{4} } }{\textcolor{springgreen}{ t^{2} }\left(1+\frac{1}{t^{2}}\right) \times \textcolor{orangered}{ t^{4} } \left(1+\frac{1}{t^{4}}\right)} \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{4}}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{4}\right)} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
I_{1} = \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{4}}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)} \mathrm{~ d} x
}
$$

于是：

$$
\textcolor{yellow}{ I = I_{1} } \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{yellow}{
I = \frac{1}{2} (I + I_{1}) } =
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{1+t^{4}}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)} \mathrm{~ d} t =
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\frac{1}{2} \arctan x \Big|_{0}^{+\infty} \Rightarrow
$$

$$
I = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-0\right) = \textcolor{yellow}{ \frac{\pi}{4} }
$$

解法二：三角代换

$$
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)} \mathrm{~ d} x
$$

令 $x=\tan t$, 则：

$$
x \in(0,+\infty) \Rightarrow t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)
$$

$$
1+x^{2}=1+\tan ^{2} t=
$$

所有三角函数的式子都要往 $\sin$ 与 $\cos$ 的形式上凑：

$$
\frac{\cos ^{2} t}{\cos ^{2} t}+\frac{\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t}=\frac{1}{\cos ^{2} t}=\sec ^{2} t
$$

$$
1+x^{4}=1+\tan ^{4} t
$$

$$
\mathrm{~ d} x=\mathrm{~ d} \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)
$$

$$
\frac{\cos ^{2} t+\sin ^{2} t}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t=\frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow \sec ^{2} t \mathrm{~ d} t
$$

于是：

$$
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec ^{2} t \mathrm{~ d} t}{\sec ^{2} t(1+\tan ^{4} t)}=
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan ^{4} t} \mathrm{~ d} t=
$$

所有三角函数的式子都要往 $\sin$ 与 $\cos$ 的形式上凑：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\left(\frac{\cos t}{\cos t}\right)^{4}+\left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^{4}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{yellow}{
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{4} t}{\sin ^{4} t+\cos ^{4} t} \mathrm{~ d} t
}
$$

令 $t=-u+\frac{\pi}{2}$, 则：

$$
t \in (0, \frac{\pi}{2}) \Rightarrow u \in\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)
$$

$$
\mathrm{~ d} t=-\mathrm{~ d} u
$$

于是：

$$
\textcolor{yellow}{
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{4} t}{\sin ^{4} t+\cos ^{4} t} \mathrm{~ d} t } \Rightarrow
$$

“奇变偶不变，符号看象限”：

$$
\textcolor{yellow}{
I_{2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} t}{\cos ^{4} t+\sin ^{4} t} \mathrm{~ d} t } \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
I = I_{2} } \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
I = \frac{1}{2} (I+I_{2}) } =
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} t+\cos ^{4} t}{\sin ^{4} t+\cos ^{4} t} \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \mathrm{~ d} t=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-0\right) = \textcolor{orange}{ \frac{\pi}{4} }
$$

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