不能对幂指函数的局部使用无穷小相关定理

一、题目

$I = lim_{x \to + \infty} \frac{{(1 + \frac{1}{x})}^{x^{2}}}{e^{x}} = ?$

难度评级：

$I = lim_{x \to + \infty} \frac{{(1 + \frac{1}{x})}^{x^{2}}}{e^{x}} =$

$lim_{x \to + \infty} \frac{{(1 + \frac{1}{x})}^{x \cdot x}}{e^{x}} =$

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}} = 1$

$I = lim_{x \to + \infty} \frac{{(1 + \frac{1}{x})}^{x^{2}}}{e^{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x^{2} \ln (1 + \frac{1}{x})}}{e^{x}}$

$lim_{x \to + \infty} e^{x^{2} \ln (1 + \frac{1}{x}) - x} \Rightarrow$

根据泰勒公式， $\ln (1 + x)$ 在点 $x = 0$ 处的展开为：

$\ln (1 + x) = 0 + x - \frac{1}{2} x^{2}$

于是（ $\frac{1}{x} \to 0$ ）：

$\ln (1 + \frac{1}{x}) = 0 + \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow$

$x^{2} \ln (1 + \frac{1}{x}) - x =$

$x^{2} (\frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}) - x = x - \frac{1}{2} - x = \frac{- 1}{2} \Rightarrow$

$I = e^{\frac{- 1}{2}}$

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

让考场上没有难做的数学题！