一、题目
$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=?
$$
难度评级：
二、解析 
错误解法
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{e^{x}}=
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(\textcolor{orangered}{ 1+\frac{1}{x} }\right)^{ \textcolor{orangered}{ x } \cdot x}}{e^{x}}=
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}=1
$$
正确解法
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{e^{x}}=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}}{e^{x}}
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} e^{x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-x} \Rightarrow
$$
根据泰勒公式，$\ln (1 + x)$ 在点 $x = 0$ 处的展开为：
$$
\ln (1+x)=0+x-\frac{1}{2} x^{2}
$$
于是（$\frac{1}{x} \rightarrow 0$）：
$$
\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=0+\frac{1}{x}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow
$$
$$
x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-x=
$$
$$
x^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}\right)-x=x-\frac{1}{2}-x=\frac{-1}{2} \Rightarrow
$$
$$
I=e^{\frac{-1}{2}}
$$
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