极限情况下对 e 的次幂要考虑清楚是正无穷还是负无穷

一、题目

$f(x)=\frac{\sin \pi x}{x-1}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{(x-1{)}^3}}$, 则当 $x\to 1$ 时，$f(x)$ 的极限情况如何？

难度评级：

二、解析

$$f(x)=\frac{\sin \pi x}{x-1}{e}^{\frac{1}{(x-1{)}^3}}\Rightarrow$$

$$\pi (x–1)\Rightarrow$$

$$f(x)=\frac{-\sin (\pi x-\pi )}{x-1}{e}^{\frac{1}{(x-1{)}^3}}\Rightarrow$$

$$f(x)=\frac{-\sin \pi (x-1)}{x-1}{e}^{\frac{1}{(x-1{)}^3}\Rightarrow }$$

$$f(x)=-\pi \cdot e^{\frac{1}{(x-1{)}^3}}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=-\pi \cdot e^{+\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$$

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=-\pi \cdot e^{-\mathrm{\infty }}=-\pi \cdot 0=0$$

综上可知，$\underset{x\to 1}{lim}f(x)$ 不存在，且 $\underset{x\to 1}{lim}f(x)\ne \mathrm{\infty }$

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