极限情况下对 e 的次幂要考虑清楚是正无穷还是负无穷

一、题目

$f(x)=\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$, 则当 $x \rightarrow 1$ 时，$f(x)$ 的极限情况如何？

难度评级：

二、解析

$$
f(x)=\frac{\sin \pi x}{x-1} e^{\frac{1}{(x-1)^{3}}} \Rightarrow
$$

$$
\pi (x – 1) \Rightarrow
$$

$$
f(x)=\frac{-\sin (\pi x-\pi)}{x-1} e^{\frac{1}{(x-1)^{3}}} \Rightarrow
$$

$$
f(x)=\frac{-\sin \pi(x-1)}{x-1} e^{\frac{1}{(x-1)^{3}} \Rightarrow}
$$

$$
f(x)=-\pi \cdot e^{\frac{1}{(x-1)^{3}}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=-\pi \cdot e^{+\infty}=+\infty
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=-\pi \cdot e^{-\infty}=-\pi \cdot 0=0
$$

综上可知，$\lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在，且 $\lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x) \neq \infty$

---