当二重积分的被积函数有根号有平方项的时候就可以常使用极坐标系求解

一、题目

已知，$D$ $=$ ${(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1}$, 则 $\iint_{D} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=?$

难度评级：

虽然本题中的积分区域不是圆形，但是仍然可以像这道题一样转换到极坐标系求解。

二、解析

首先，我们可以绘制出如图所示的积分区域（橙红色部分）：

分析可知，该积分区域直线 $y=x$ 对称，且被积函数调换 $x$ 与 $y$ 后仍然相等，即 $f(x, y) = f(y, x)$. 因此：

$$
\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \\ \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y=r d r \mathrm{~ d} \theta\end{array} \Rightarrow \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r \Rightarrow\right.
$$

$$
\iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y=2 \iint_{D_{1}} 1 d r \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~ d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta}} \mid d r=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos \theta} \mathrm{~ d} \theta=
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
2 \ln \Big|\frac{1}{\cos \theta} + \tan \theta \Big| } \Bigg|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}=
$$

$$
2\left[\ln | \textcolor{orangered}{ \frac{2}{ \sqrt{2} } }+1|-\ln | 1+0 |\right]=2 \ln (\sqrt{2} + 1)
$$

注意：二重积分的几何意义是以积分区域为底的曲顶柱体的体积。虽然当被积函数为 $1$ 时，一重积分就等于积分区域的面积，但当积分区域等于 $1$ 时，二重积分并不等于积分区域的面积。

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