无穷项求和的解题方法：夹逼定理或者定积分的定义

一、题目

已知：

$$I=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2n+1}}({\int }_1^{\frac{1}{2n}}{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y+{\int }_1^{\frac{3}{2n}}{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y+\cdots +{\int }_1^{\frac{2n-1}{2n}}{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y)$$

则 $I=?$

难度评级：

二、解析

Tips:

本题是一道利用定积分的定义计算无穷项求和问题的题目，特别之处在于本题最终得到的定积分是一个二重积分，而且是积分上下限中存在变量形式的二重定积分。

首先：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt[n]{2}-1)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(2^{\frac{1}{n}}-1)=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(e^{\frac{1}{n}\ln 2}-1)\sim \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\ln 2$$

又：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{2n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(2n+1{)}^{\frac{1}{n}}=$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\frac{\ln (2n+1)}{n}}\Rightarrow \text{ 指数部分洛必达运算 }\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\frac{\frac{2}{2n+1}}{1}\Rightarrow }$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{\frac{1}{n}}=e^0=1$$

于是：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2n+1}}=\frac{1}{n}\ln 2$$

接着，观察可知，$({\int }_1^{\frac{1}{2n}}{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y+{\int }_1^{\frac{3}{2n}}{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y+\cdots +{\int }_1^{\frac{2n-1}{2n}}{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y)$ 中只有上限发生变化，而且，如果我们把 $(0,1)$ 区间分成 $n$ 份的话，就会发现，该积分上限中的 $\frac{1}{2n}$, $\frac{3}{2n}$, $\cdots$, $\frac{2n-1}{2n}$ 表示的刚好也是把 $(0,1)$ 区间分成 $n$ 份：

$$\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\cdots ,\frac{n}{n}\Rightarrow$$

$$\frac{2}{2n},\frac{4}{2n},\frac{6}{2n},\cdots ,\frac{2n}{2n}\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2n},\frac{2}{2n},\frac{3}{2n},\frac{4}{2n},\frac{6}{2n},\cdots ,\frac{2n-1}{2n},\frac{2n}{2n}$$

Tips:

虽然 $\frac{1}{n}$, $\frac{2}{n}$, $\frac{3}{n}$, $\cdots$, $\frac{n}{n}$ 和 $\frac{1}{2n}$, $\frac{3}{2n}$, $\cdots$, $\frac{2n-1}{2n}$ 对 $(0,1)$ 区间分割的形式不一样，但从上面的分析可知，二者都均匀的将该区间划分成了 $n$ 份，没有多也没有少，符合定积分的定义。

于是，我们可令：

$$f(x)={\int }_1^x{e}^{-y^2}\mathrm{d}y,\mathrm{d}x\in (0,1)$$

但由于上式中的积分上限 $x$ 其实是小于 $1$ 的，为了表述符合常规，我们改写成下面的形式：

$$f(x)=-{\int }_x^1{e}^{-y^2}\mathrm{d}y$$

进而：

$$({\int }_1^{\frac{1}{2n}}{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y+{\int }_1^{\frac{3}{2n}}{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y+\cdots +{\int }_1^{\frac{2n-1}{2n}}{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y)=$$

$$f\left(\frac{1}{2n}\right)+f\left(\frac{3}{2n}\right)+\cdots +f\left(\frac{2n-1}{2n}\right)$$

于是：

$$I=\ln 2\cdot \underset{n\to 0}{lim}\frac{1}{n}[f\left(\frac{1}{2n}\right)+f\left(\frac{3}{2n}\right)+\cdots +f\left(\frac{2n-1}{2n}\right)]$$

根据前面的分析可知，上式就相当于把 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 区间上分成 $n$ 份，求解每份的函数值并再相加，符合定积分的定义，因此：

$$I=\ln 2\cdot {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I=-\ln 2\cdot {\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_x^1{e}^{-y^2}\mathrm{d}y.$$

由于上式中的 $e^{-y^2}$ 没有原函数，我们显然没办法计算其积分，因此，考虑调换积分顺序。

同时，由 ${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_x^1{e}^{-y^2}\mathrm{d}y$ 可知，其积分区域如图 01 所示：

于是，我们将先对 $x$ 积分后对 $y$ 积分，更改为先对 $y$ 积分后对 $x$ 积分，得：

$$I=-\ln 2\cdot {\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_0^y{e}^{-y^2}\mathrm{d}x$$

其中，由 $\mathrm{d}x$ 知，${\int }_0^y{e}^{-y^2}\mathrm{d}x$ 中的积分变量是 $x$, 因此，$y$ 视作常数处理：

$${\int }_0^y{e}^{-y^2}\mathrm{d}x=e^{-y^2}{\int }_0^{y}1\mathrm{d}x=$$

$$e^{-y^2}\cdot \left({x|}_0^y\right)=y\cdot e^{-y^2}$$

于是：

$$I=-\ln 2{\int }_0^{1}y\cdot e^{-y^2}\mathrm{d}y$$

又：

$${\left(e^{-y^2}\right)}^{\prime }=-2y\cdot e^{-y^2}$$

因此：

$$I=-{\ln 2\cdot \frac{-1}{2}\cdot e^{-y^2}|}_0^1\Rightarrow$$

$$I=\frac{\ln 2}{2}(e^{-1}-e^0)\Rightarrow$$

$$I=\frac{\ln 2}{2}(\frac{1}{e}-1)$$

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