反常积分是否收敛不能由被积函数是否有极限判出

一、题目

已知，$I=\int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$, 则 $a=?$, $b=?$

难度评级：

二、解析

由于 $I = 1$ 说明 $I$ 收敛，因此，我们首先需要判断出，当 $a$ 和 $b$ 满足什么条件的时候，$I$ 会收敛：

$$
I=\int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-\textcolor{orangered}{1}\right] d x=1 \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a \textcolor{orangered}{-2 x^{2}-a x}}{x(2 x+a)}\right] d x=1 \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{1}^{+\infty} \frac{(b-a) x+a}{x(2 x+a)} d x \Rightarrow
$$

若 $b-a \neq 0$, 则：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{(b-a) x+a}{x(2 x+a)}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{(b-a) x}{2 x^{2}}=\frac{b-a}{2 x} \Rightarrow
$$

$$
\because \quad \frac{(b-a)}{2} \int \frac{1}{x^{m}} d x \Leftrightarrow \textcolor{orangered}{ \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}}\left\{\begin{array}{l}p>1 \quad \text{ 收敛 } \\ p \leqslant 1 \quad \text { 发散 }\end{array}\right. (a > 0) }
$$

$$
\therefore \quad b-a=0 \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x
$$

解法一

$$
\because \quad \frac{a}{x(2 x+a)}=\frac{1}{x}-\frac{2}{2 x+a}
$$

$$
\therefore \quad I=\int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\int_{1}^{+\infty}\left[\frac{1}{x}-\frac{2}{2 x+a}\right] d x=
$$

$$
{\left.[\ln x-\ln (2 x+a)]\right|_{1} ^{+\infty}=\left.\ln \frac{x}{2 x+a}\right|_{1} ^{+\infty}=}
$$

$$
\ln \frac{1}{2}-\ln \frac{1}{2+a}=-\ln 2+\ln (2+a)
$$

$$
I=1 \Rightarrow \ln (2+a)-\ln 2=\ln \frac{2+a}{2}=1 \Rightarrow
$$

$$
\log _{e} \frac{2+a}{2}=1 \Rightarrow e=\frac{2+a}{2} \Rightarrow 2 e-2=a \Rightarrow
$$

$$
a=2 e-2, \quad b=2 e-2
$$

另一种计算方法

$$
\ln (2+a)-\ln 2=1 \Rightarrow \ln (2+a)=1+\ln 2 \Rightarrow
$$

$$
\log _{e}^{2+a}=1+\ln 2 \Rightarrow e^{1+\ln 2}=2+a \Rightarrow
$$

$$
2 e=2+a \Rightarrow
$$

$$
a=2 e-2, \quad b=2 e-2 .
$$

解法二

$$
I=\int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x \cdot x\left(2+\frac{a}{x}\right)} d x
$$

$$
\because \quad \left(2+\frac{a}{x}\right)_{x}^{\prime}=\frac{-a}{x^{2}}
$$

$$
\therefore \quad I=-\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{2+\frac{a}{x}} d\left(2+\frac{a}{x}\right) \Rightarrow
$$

$$ -\left.\ln \left(2+\frac{a}{x}\right)\right|_{1} ^{+\infty}=-[\ln 2-\ln (2+a)] \Rightarrow
$$

$$ I=1 \Rightarrow \ln (2+a)-\ln 2=1 \Rightarrow \ln \frac{2+a}{2}=1 \Rightarrow
$$

$$ e=\frac{2+a}{2} \Rightarrow
$$

$$
a=2 e-2, \quad b=2 e-2
$$

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