反常积分是否收敛不能由被积函数是否有极限判出 一、题目 已知,I=∫1+∞[2x2+bx+ax(2x+a)−1]dx=1, 则 a=?, b=? 难度评级: 二、解析 由于 I=1 说明 I 收敛,因此,我们首先需要判断出,当 a 和 b 满足什么条件的时候,I 会收敛: I=∫1+∞[2x2+bx+ax(2x+a)−1]dx=1⇒ I=∫1+∞[2x2+bx+a−2x2−axx(2x+a)]dx=1⇒ I=∫1+∞(b−a)x+ax(2x+a)dx⇒ 若 b−a≠0, 则: limx→+∞(b−a)x+ax(2x+a)= limx→+∞(b−a)x2x2=b−a2x⇒ 收敛发散∵(b−a)2∫1xmdx⇔∫a+∞1xp{p>1 收敛 p⩽1 发散 (a>0) ∴b−a=0⇒ I=∫1+∞ax(2x+a)dx 解法一 ∵ax(2x+a)=1x−22x+a ∴I=∫1+∞ax(2x+a)dx=∫1+∞[1x−22x+a]dx= [lnx−ln(2x+a)]|1+∞=lnx2x+a|1+∞= ln12−ln12+a=−ln2+ln(2+a) I=1⇒ln(2+a)−ln2=ln2+a2=1⇒ loge2+a2=1⇒e=2+a2⇒2e−2=a⇒ a=2e−2,b=2e−2 另一种计算方法 ln(2+a)−ln2=1⇒ln(2+a)=1+ln2⇒ loge2+a=1+ln2⇒e1+ln2=2+a⇒ 2e=2+a⇒ a=2e−2,b=2e−2. 解法二 I=∫1+∞ax(2x+a)dx⇒ I=∫1+∞ax⋅x(2+ax)dx ∵(2+ax)x′=−ax2 ∴I=−∫1+∞12+axd(2+ax)⇒ −ln(2+ax)|1+∞=−[ln2−ln(2+a)]⇒ I=1⇒ln(2+a)−ln2=1⇒ln2+a2=1⇒ e=2+a2⇒ a=2e−2,b=2e−2 考研数学思维导图 高等数学 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数 以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题 通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 集火攻击:多种方法解一道题 你能走出这个关于 ex 的迷宫吗? 考研线性代数:行列式部分初级专项练习题(2024 年) 披着数列极限外衣的函数无穷小问题:但是不能直接用等价无穷小公式哦 只有因“极限变量”导致的极限取值不同才叫极限不存在:因式子中其他变量取值不同导致的极限不同只能表现为“分段式极限存在” 这道三角函数极限题你能秒解吗 计算极限问题时“抓大头”要慎重! 有界函数乘以零得零:但反过来并不成立 取大头:分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法 计算微分方程 y′′ + 2my′ + n2y = 0 满足一定条件特解的无穷限反常积分 对于二阶常系数非齐次微分方程,当需要直接求函数解时可以用公式法,当需要用到中间的某些量时可以用常数变易法 X 轴和 Y 轴分量上指定点的偏导数存在且在该点处连续与该点可微之间没有任何必然联系 比较两个无穷大(或无穷小)量的大小,需要用除法而不是减法 往前走一步,视野大不同:对于三角函数别忘了可以通过加减周期的方式做恒等变形 两个不同符号的无穷小变量相减不会导致更高阶无穷小的产生 将二次型化为标准型(规范型)的方法之:拉格朗日配方法 做了这道题,你对分块矩阵性质的理解很可能将会更上一层楼 分子或分母中有极限和数字的加减法时不能直接把极限值代入式子中参与运算——但只有极限没有数字的时候可以代入极限值参与运算 怎么证明二元函数的极限存在:用放缩法 二元函数的可微性你会证明吗:偏导数都存在也不一定可微哦 当定积分遇上无穷大:先积分再计算无穷大 连续函数的导数不一定连续:导函数的间断点只可能是震荡间断点 计算定积分的神奇武器:区间再现公式(附若干例题) 求解一点处的导数时,不一定要用定义法 极限型函数求间断点:先求出具体表达式