反常积分是否收敛不能由被积函数是否有极限判出

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,I=1+[2x2+bx+ax(2x+a)1]dx=1, 则 a=?, b=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

由于 I=1 说明 I 收敛,因此,我们首先需要判断出,当 ab 满足什么条件的时候,I 会收敛:

I=1+[2x2+bx+ax(2x+a)1]dx=1

I=1+[2x2+bx+a2x2axx(2x+a)]dx=1

I=1+(ba)x+ax(2x+a)dx

ba0, 则:

limx+(ba)x+ax(2x+a)=

limx+(ba)x2x2=ba2x

(ba)21xmdxa+1xp{p>1 收敛 p1 发散 (a>0)

ba=0

I=1+ax(2x+a)dx

解法一

ax(2x+a)=1x22x+a

I=1+ax(2x+a)dx=1+[1x22x+a]dx=

[lnxln(2x+a)]|1+=lnx2x+a|1+=

ln12ln12+a=ln2+ln(2+a)

I=1ln(2+a)ln2=ln2+a2=1

loge2+a2=1e=2+a22e2=a

a=2e2,b=2e2

另一种计算方法

ln(2+a)ln2=1ln(2+a)=1+ln2

loge2+a=1+ln2e1+ln2=2+a

2e=2+a

a=2e2,b=2e2.

解法二

I=1+ax(2x+a)dx

I=1+axx(2+ax)dx

(2+ax)x=ax2

I=1+12+axd(2+ax)

ln(2+ax)|1+=[ln2ln(2+a)]

I=1ln(2+a)ln2=1ln2+a2=1

e=2+a2

a=2e2,b=2e2


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