对于二阶常系数非齐次微分方程，当需要直接求函数解时可以用公式法，当需要用到中间的某些量时可以用常数变易法

一、题目

已知， $a > 0$ 是常数，连续函数 $f (x)$ 满足 $lim_{x \to + \infty} f (x) = b$ , $y = y (x)$ 是微分方程 $y^{''} + a y^{'} = f (x)$ $(x \in [0, + \infty))$ 的解，则：

$lim_{x \to + \infty} y^{'} (x) = ?$

$lim_{x \to + \infty} y^{''} (x) = ?$

难度评级：

如果本题要求解 $y (x)$ , 那么直接用公式法就很合适：

$y (x) = [\int f (x) \cdot e^{\int a d x} d x + C] \cdot e^{- \int a d x}$

但是，本题最终要求解的是 $y^{'}$ 和 $y^{''}$ , 如果我们用了公式法，则还需要在回头求导，这就增加了计算的复杂度，因此，我们可以考虑使用常数变易法，因为常数变易法能够将计算过程中涉及的中间量“暴露”出来。

$y^{''} + a y^{'} = f (x) \Rightarrow$

$e^{\int a d x} [y^{''} + a y^{'}] = e^{\int a d x} \cdot f (x) \Rightarrow$

$y^{''} \cdot e^{a x} + a y^{'} \cdot e^{a x} = e^{a x} \cdot f (x) \Rightarrow$

${[y^{'} \cdot e^{a x}]}_{x}^{'} = e^{a x} \cdot f (x) \Rightarrow$

$\int {[y^{'} \cdot e^{a x}]}_{x}^{'} d x = \int e^{a x} \cdot f (x) d x \Rightarrow$

$y^{'} \cdot e^{a x} + C_{0} = \int e^{a x} \cdot f (x) d x \Rightarrow$

$y^{'} = C_{1} e^{- a x} + \frac{\int e^{a x} \cdot f (x) d x}{e^{a x}} \Rightarrow$

$lim_{x \to + \infty} y^{'} = lim_{x \to + \infty} C_{1} e^{- a x} + lim_{x \to + \infty} \frac{\int e^{a x} \cdot f (x) d x}{e^{a x}}$

$lim_{x \to + \infty} y^{'} = 0 + lim_{x \to + \infty} \frac{e^{a x} \cdot f (x)}{a e^{a x}} \Rightarrow$

$lim_{x \to + \infty} y^{'} = \frac{b}{a}$

$lim_{x \to + \infty} y^{'} = \frac{b}{a} \Rightarrow lim_{x \to + \infty} [y^{''} \cdot e^{a x} + a y^{'} \cdot e^{a x} = e^{a x} f (x)$

$lim_{x \to + \infty} [y^{''} \cdot e^{a x} + a \cdot \frac{b}{a} e^{a x} = e^{a x} \cdot b] \Rightarrow$

$lim_{x \to + \infty} [y^{''} + b = b] \Rightarrow lim_{x \to + \infty} y^{''} = 0$