一点处导数不存在的时候也可以通过导数判断该点处的连续性

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(x) = {1cosx2x3,x>0,g(x)arcsin2x,x0, 其中 g(x) 是有界函数, 则 f(x)x=0 处连续吗?可导吗?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先:

limx0+1cosx2x3=limx0+12x4x3=limx0+x=0

且:

f(0)=g(0)0=0

因此,我们可以判断出函数 f(x)x=0 处是连续的。

同时,在接下来的计算得出结果后,我们还有另外一个办法判断出函数 f(x) 在该点处的连续性。

右导数:

f(0+)=

limx0+f(x)f(0)x=limx0+1cosx2x3x=

limx0+1cosx2x4=limx0+12x4x4=12

左导数:

f(0)=

limx0f(x)f(0)x=limx0g(x)arcsin2xx=

limx0g(x)x2x=limx0g(x)x=0

由于:

120f(0+)f(0)

或者写成:

f+(0)f(0)

因此,函数 f(x) 在点 x=0 处是不可导的。

但是,f(0+) 存在说明函数 f(x)x=0 处右连续,f(0) 存在说明函数 f(x)x=0 处左连续——

只要函数在一点处右连续且左连续,或者说只要函数在一点处右导数存在且左导数存在,就说明函数在该点处是连续的。但是,必须左右导数相等才能说明函数在该点处可导。


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress