一点处导数不存在的时候也可以通过导数判断该点处的连续性

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0, \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续吗？可导吗？

难度评级：

二、解析

首先：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} x=0
$$

且：

$$
f(0)=g(0) \cdot 0=0
$$

因此，我们可以判断出函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处是连续的。

同时，在接下来的计算得出结果后，我们还有另外一个办法判断出函数 $f(x)$ 在该点处的连续性。

右导数：

$$
f^{\prime}\left(0^{+}\right)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}}{x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x^{2}}{x^{4}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{4}}{x^{4}}=\frac{1}{2}
$$

左导数：

$$
f^{\prime}\left(0^{-}\right)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{g(x) \arcsin ^{2} x}{x} =
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} g(x) \cdot \frac{x^{2}}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} g(x) \cdot x=0
$$

由于：

$$
\frac{1}{2} \neq 0 \cdot \Rightarrow f^{\prime}\left(0^{+}\right) \neq f^{\prime}\left(0^{-}\right)
$$

或者写成：

$$
f_{+}^{\prime}(0) \neq f_{-}^{\prime}(0)
$$

因此，函数 $f(x)$ 在点 $x = 0$ 处是不可导的。

但是，$f^{\prime}(0^{+})$ 存在说明函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处右连续，$f^{\prime}(0^{-})$ 存在说明函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处左连续——

只要函数在一点处右连续且左连续，或者说只要函数在一点处右导数存在且左导数存在，就说明函数在该点处是连续的。但是，必须左右导数相等才能说明函数在该点处可导。

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