这道线性代数和高等数学“合二为一”的题目你会做吗？

一、题目

已知 $f(x)$, $g(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内可导, $g(x)>0$, $\left|\begin{array}{ll}f(x)& g(x)\\ f^{\prime }(x)& g^{\prime }(x)\end{array}\right|<0$, 且 $a<b$, $f(a)=0$.

请证明 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在区间 $(a,b]$ 恒正。

难度评级：

二、解析

$${\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]}_x^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$$

$$\left|\begin{array}{ll}f(x)& g(x)\\ f^{\prime }(x)& g^{\prime }(x)\end{array}\right|<0\Rightarrow$$

$$f(x)g^{\prime }(x)-g(x)f^{\prime }(x)<0\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)>0\Rightarrow$$

$$g(x)>0\Rightarrow$$

$${\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]}_x^{\prime }>0\Rightarrow$$

$$x=a\Rightarrow \frac{f(a)}{g(a)}=0\Rightarrow$$

$$a<b\Rightarrow x\in (a,b]\Rightarrow$$

$$\frac{f(x)}{g(x)}>0.$$

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