一、题目
已知 $f(x)$, $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, $g(x)>0$, $\left|\begin{array}{ll}
f(x) & g(x) \\
f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x)
\end{array}\right|<0$, 且 $a<b$, $f(a)=0$.
请证明 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在区间 $(a, b]$ 恒正。
难度评级：
二、解析 
$$
\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]_{x}^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}}
$$
$$
\left|\begin{array}{ll}f(x) & g(x) \\ f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x)\end{array}\right|<0 \Rightarrow
$$
$$
f(x) g^{\prime}(x)-g(x) f^{\prime}(x)<0 \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)>0 \Rightarrow
$$
$$
g(x)>0 \Rightarrow
$$
$$
\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]_{x}^{\prime}>0 \Rightarrow
$$
$$
x=a \Rightarrow \frac{f(a)}{g(a)}=0 \Rightarrow
$$
$$
a<b \Rightarrow x \in(a, b] \Rightarrow
$$
$$
\frac{f(x)}{g(x)}>0.
$$
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