判断一个点是否是间断点不能只看该点处的情况，还要看该点周围的情况

一、题目

已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内都有定义，且 $x=x_1$ 是 $f(x)$ 的唯一间断点, $x=$ $x_2$ 是 $g(x)$ 的唯一间断点. 则 $x=1$ 和 $x=-1$ 分别是该函数的什么间断点？

难度评级：

二、解析

首先，将函数 $f(x)$ 写成分段函数：
$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^{2n}-1}{x^{2n}+1}\Rightarrow$$

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}1& |x|>1,\\ 0& |x|=1,\\ -1& |x|<1.\end{array}$$

接着，我们可以将函数 $f(x)$ 写成如下形式：

于是：

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=1\underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=-1\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)$$

$$\underset{x\to -1^{+}}{lim}f(x)=-1\underset{x\to -1^{-}}{lim}f(x)=1\Rightarrow$$

$$\underset{x\to -1^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to -1^{-}}{lim}f(x)$$

于是可知，$x=1$ 和 $x=-1$ 的左右极限都存在，是第一类间断点。

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